Зъбни колела

Това са записки върху зъбните предавки, които отдавна са детайлно описани, но за мен се те оказаха нещо ново.
Автор на еволвентната постановка е Ойлер 1760.
В действителност тук е разгледан само характерния случай на стандартна цилиндрична зъбна двойка с еволвентен профил.
Написах една програма за изследване на такива двойки 670kb GEAR.EXE Модел на двойка зъбни колела.

Конци и макари
Има един клас криви, наречени еволвентни, на които трябва да обърнем внимание - заради изложението по-нататък. На чист български език фразата "еволвентна крива" би трябвало да се преведе като "развиваща крива" - Геометрично място на точки, съвпадащи с края на развиваща се нишка от някаква форма или повърхност. В много текстове се срещат уточняващи термини, като еволюти и инволюти - зависи от това дали развиваме, или навиваме нишката.
Най простия случай, при който една окръжност се търкаля върху права е илюстриран на Фиг.1. Жълтата крива има подобен характер - ако окръжността е макара и върху нея се навива нишка, края на нишката ще описва такава крива. Сега ще си поставим задача да намерим аналитичен израз за тази крива.
Най-удобно тя се представя по параметричен начин. Да поставим началото на координатната система в допирната точка между окръжността (с радиус =1) и правата - бялото кръгче на Фиг.2. Разглеждаме периферната точка означена на Фиг.2 като жълто кръгче. Тази точка участвува в две независими движения. Едното от тях е равномерно праволинейно движение надясно, със скорост t, защото търкалянето е без хлъзгане. Другото е равномерно движение по окръжност. Движението на центъра на окръжността се описва от две уравнения:
x = t ; y = 1
Но към това движение, за всяка периферна точка се прибавя движението по окръжност. То се описва от друга двойка уравнения:
x = -sin(t) ; y = -cos(t)
Като сбор на горните две двойки, XY-координатите представляват следните функции от времето:
x = t - sin(t)
y = 1 - cos(t).
Тези две уравнения определят параметрична крива, чиято графика е показана на Фиг.3.
Същата графика може да се построи онлайн от страницата Параметрични криви.
След казаното дотук, кривата се определя като инволюта, защото нишката се навива. Но описаното действие е симетрично спрямо t и ако нишката се развива, ще получим същата крива. В такъв случай тя ще се нарича

Еволюта
Да си представим, че нишка се развива от неподвижен цилиндър с радиус 1 - виж Фиг.4.
На тази фигура краят на нишката е означен с буква E. Да разгледаме светлия правоъгълен триъгълник. Горният му остър ъгъл е равен на ъгъла на развиване t, защото това са ъгли с взаимно перпендикулярни рамене. Дължината на развилата се вече нишка - хипотенузата - е равна на t (радиусът е 1). За двата катета - делта x и делта y, можем да напишем
. [1]
Координатите на точката, в която се отлепя нишката
- горния връх на същия триъгълник, са
. [2]
От Фиг.4 , както и от [1] и [2] се вижда какви ще бъдат координатите на точката E:
. [3]
Последните две равенства определят параметрична крива, наречена еволюта.
Графиката на кривата може да се види на Фиг.5 или да бъде построена в момента от този линк .
Най-често, в профила на един зъб от зъбно колело, триещият се участък е с такава форма.

Хлъзгане и Търкаляне
Случвало се е хора са ми казват, че повърхностите на зъбните колела се търкалят една върху друга без хлъзгане, тоест практически без триене.
Внимателният поглед върху процеса показва, че това не е възможно.
За да няма хлъзгане, а само търкаляне, условието е относителното движение на двете повърхности да има само нормална компонента, а допирателната да е нулева (виж Фиг.6). За всяко зъбно колело има три важни окръжности - Базова, Делителна и Външна. Тези окръжности са показани на Фиг.7. Двойките зъбни колела се правят така, че делителните им окръжностти да са допирателни. Зъбните лица могат да контактуват в цялата област между Базовата и Външната окръжност. Тази област има крайни размери и в нея има една единствена двойка окръжности, за които относителното движението няма допирателна а има само нормална компонента - това са двете делителни окръжности. Следователно допир без хлъзгане има в една - единствена точка - точката, в която се допират Делителните. В останалите случаи относителната скорост варира около нулата, така че хлъзгането е минимално.

Изпълнение
Базовата (основната) окръжност за едно зъбно колело (виж Фиг.7) е тази, от която става развиването на еволютата в по-горното обяснение. На Фиг.8 са нарисувани силуети на два допиращи се зъба заедно с базовите им окръжности.
Тъй като и двете повърхности са развивки, във всяка своя точка те са перпендикулярни на коя да е допирателна към основната си (базова) окръжност. В частност те са перпендикулярни към онази допирателна, която е обща за двете базови окръжности - червената линия на Фиг.8. Тази линия се нарича линия на зацепване (на англ. Presure Line), може би превода е линия на натиск или линия на напрежение. Допирната точка със сигурност е обща за три линии - двете повърхности и линията на натиска. Това място може да варира в зависимост от ъгъла на завъртане, както и от разстоянието между центровете на двете окръжности, но свойството на повърхностите да бъдат винаги успоредни една на друга и перпендикулярни към силовата права ще се запази.

Правила
На Фиг.9 са изобразени главните технически термини, с които инженерите обясняват зъбните колела. На тази тема има правила, свързани с геометрията, стандарт и технология. Благодарение на стандартизацията, в общия случай са достатъчни две числа, за да бъде определен профила на едно зъбно колело. Едното е стъпката, а другото - броя на зъбите. Ето няколко от правилата за проектиране при зъбни колела с 10 и повече зъба:
1. Еволвентния профил започва от основната окръжност.
2. Делителната окръжност е по средата между основната и външната.
3. Височината на зъба е малко над (2/пи) от стъпката.
4. Разстоянието от делителната до външната е половината височина.
5. Между два зъба разстоянието е маалко повече от половин стъпка, мерена по делителната.
6. Ъгъла на зацепване по БДС (също и по други стандарти) е 20 ъглови градуса.

Проектиране
Току-що изброените правила са само начални. Ако искаме да проектираме действително зъбно колело, трябват още. На Фиг.10 са изобразени няколко оиентировъчни съотношения, които трябва да се вземат предвид. С буква P е означена стъпката, с буква h е означена височината на зъба. Бялата линия е Делителната (Стъпковата) окръжност. Предполага се движение надясно и горно движещо колело.
С моята програма, цитирана най-горе успях да моделирам ъгълът на зацепване е между 9 и 27 ъглови градуса и брой на зъбите е 4 или повече. Промишлените образци се придържат към ъгли 14,20,22 градуса и брой на зъбите - 10 и повече. Процесът на зацепване се илюстрира от тази 10-секундна анимация , извлечена от същата програма. В анимацията са изобразени базовите и делителните окръжности. С червен цвят е означена линията на зацепване. Направена е така, че да проследи малко повече от една стъпка.

Изпълнение
Понякога стъпката, разделена на пи се нарича модул. Има известна формула за външния диаметър на зъбните колела. Ако N е броя на зъбите, а MOD е модула, външният диаметър (англ. OD-Out Diameter) спазва условието:
OD = (N+2) x MOD
С програмата "gear.exe" направих колелото, показано на фиг.11. Модул 1 (всъщност стъпка едно пи), 30 зъба, 18 градуса ъгъл на натиск. 6 спици, осев отвор 1.9 мм. Дебелината е 4.3 мм - такъв материал имах. Шублерът показа външен диаметър 31.8 при теоретичен размер 32 мм. Това е нормално, при малки размери, за външния диаметър, хлабините и подзъбните кухини трябва да се оставя относително по-голям толеранс, иначе има риск от лошо зацепване.
Процедурата е: От програмата "gear.exe" се излъчва plt-файл, който внасям в рисувачката (Radis Vector Editor-RVE.EXE), публикувана на страницата "безплатни програми", после оттам задавам размери и други подробности, след което от рисувачката изнасям g-code към CNC-машината.


Р.Ж. Създаден 26.12.2011 Последна редакция 16.12.2013

Начална страница