Движение по окръжност

Тук са дадени определения и коментари за ъгловите версии на понятията скорост, ускорение, импулс, сила, инерция в класическата механика.
Четенето изисква да знаем значението на изразите производна и векторно произведение.
Тези неща са достъпни от учебника на Станчо Павлов.

Въведение
Да предположим, че едно тяло (материална точка) се движи с една и съща по големина скорост по окръжност. Това означава, че има твърда връзка, която запазва разстоянието между разглежданата точка и центъра на окръжността. По-долу ще предполагаме, че това разстояние е ненулево. Добре е да уговорим и понятието ос на въртене - права, минаваща през центъра и перпендикулярна на скоростта, с която се движи тялото. Всички следващи определения са спрямо този център и ос. Добре е също да уточним какво е дясна координатна система - това е такава система координатни оси, че ако застанем в центъра и гледаме към първи квадрант/октант, подредбата на осите ще се върти надясно (по часовниковата стрелка). Тук ще подразбираме дясна координатна система.
Окръжността и центъра ни подтикват да мислим за полярни координати, в които позицията се определя от ъгъл и радиус. И действително големината на ъгловата скорост може да се определи като първа производна по времето на променящият се централен ъгъл. Но както линейната, така и ъловата скорост е вектор, затова ще трябва да кажем още, че посоката на вектора е по оста на въртене. До същото ще стигнем и чрез написаното на първо място по-долу с вектори. В този текст векторите са означени като:
(омега) - ъглова скорост;
- линейна скорост;
- линейно ускорение;
- ъглово ускорение;
- въртящ момент (момент на сила спрямо ос);
- момент на импулса;

Ъглова скорост - определение:
.
Ъгловата скорост се определя като пропорционална на векторното произведение между радиус-вектора на тялото R и вектора на линейната скорост V. При векторното произведение, резултатът по посока е перпендикулярен на двата аргумента и числовата му стойност е колкото лицето на успоредника, образуван от тях. Мярката за ъглова скорост е [радиан / секунда].
[отклонение 1]
Векторните произведения са антикомутативни, тоест (AxB = -BxA), разпределяеми, тоест (Ax(B + C) = AxB + AxC), прозрачни за числов множител, тоест ако k e число, то k(AxB)=(kA)xB=Ax(kb) и имат специален начин за последователно прилагане, наречен двойно векторно произведение:
Ax(BxC) = B(A.C) - C(A.B) /точката е знак за скаларно произведение/.
Да погледнем числителя в дясната страна на горното определение и да го умножим отдясно векторно с R. Ще получим
. Първото събираемо е нула, защото съдържа като множител скаларното произведение на два взаимно перпендикулярни вектора R.V;
[/край на отклонение 1]
Да умножим двете страни на определението отдясно с R и ще намерим линейната скорост: [1].

[отклонение 2]
Линейно ускорение
Ускорението е промяна в скоростта за единица време. Щом тялото не се движи по права, векторът на скоростта се променя и това означава, че движението по окръжност винаги е съпроводено с ускорение. Силата, която предизвиква това ускорение е от уговорената по-горе твърда връзка, запазваща разстоянието до центъра - нарича се центростремителна сила. Наличието на ускорение е съществена разлика в сравнение с равномерното праволинейно движение. Например не ни позволява да третираме координатна система - привързана към тялото - като инерциална. Следват малко геометрични разсъждения за големината на това ускорение:
Да разгледаме две точки A1 и B1 от движението, с радиус-вектори R1 и R2; Да означим скоростите с V1 и V2. Да построим мислен вектор от B1 до A2, равен по посока и големина с V1.
Да забележим подобието на триъгълниците O A1 B1 ~ B1 A2 B2.
Ако векторите R и V са с постоянна дължина ( |R1| = |R2| и |V1| = |V2| ), то ,
откъдето следва, че промяната в скоростта е . Да разделим двете страни на това равенство с интервала време между двете положения на точката: . При малки временни интервали клонящи към нула, лявата страна на това равенство по дефиниция клони към ускорението, а последния множител клони към скоростта V. Така получихме оценка за големината на ускорението:. Лесно е да съобразим, че като вектор .
Изразено чрез ъгловата скорост от [1], линейното ускорение е: [2].
Посоката на линейното ускорение е към центъра, затова то често се нарича центростремително ускорение.
[/край на отклонение 2]


Ъглово ускорение - определение
Ъгловото ускорение се определя като производна на ъгловата скорост по времето: .
Както виждаме, ъгловото ускорение е по смисъл различно от линейното. Размерността му е [радиан/секунда²]
Определението е избрано първо: за да е ясно, че посоката на вектора е по оста на въртене; второ: по този начин то добре се съгласува с уравнението на Нютон F=ma (виж по-долу).

Кинетична енергия: . Енергията е скалар. Тук тя е само представена чрез ъгловата скорост, тоест това не е определение за енергия, но е написано, защото подпомага следващото.

Инерчен момент - определение: се определя като Инерчен момент. Това е мярка за инертността на въртящото се тяло, тя играе роля, подобна на масата (m) при постъпателно движение. От определението се вижда, че мярката за инерчен момент е [килограм х метър х метър].
В такъв случай енергията може да бъде изразена като , което е подобие на равенството E=mv²/2.

Въртящ момент - определение:
Ако една сила F действува на тялото, векторното произведение между радиус-вектора към тялото и вектора на тази сила се определя като въртящ момент (момент на сила) спрямо центъра. Мярката за въртящ момент е [нютон х метър].

Втори принцип на Нютон
Да допуснем, че сила F действува на тялото. В някакъв интервал от време скоростта ще нарастне от V₁ до V₂. Съгласно [1] тази промяна се изразява като [3],
където индексите 1 и 2 съответствуват на начало и край на разглеждания интервал. Ако означим с делта промените, умаляемото в дясната страна ще придобие вида , а след разкриване на скобите равенството [3] ще изглежда така:
.
Да разделим промяната в скоростта на интервала време: [4]
и да си представим интервал време клонящ към нула. Лявата страна на [4] клони към общото ускорение. В дясната страна на [4] третото събираемо клони към нула. В първото събираемо можем да съобразим, че , където векторът V е линейната скорост;
Линейната скорост V може да бъде изразена чрез ъгловата, по формула [1],
след което първото събираемо в дясната страна на [4] ще бъде
.
Tази съставка на ускорението очевидно съвпада с [2] - центростремителното ускорение. Тя е насочена срещу радиуса и не променя ъгловата скорост.
Втората съставка от дясната страна на [4] може да се изрази като
. Двете съставки на ускорението от [4] съответствуват на две съставки в силата - радиална и допирателна. Радиалната съставка е центростремителната сила.
Да разгледаме допирателната съставка (тази която е перпендикулярна на радиус-вектора). За нея в уравнението на Нютон ще получим . Ако умножим с отляво векторно с R двете страни, ще получим .
В ляво на последното равенство е въртящия момент, а изразът mR² е инерчния момент. Така стигаме до равенството

[6],
което е аналог на Втория принцип на Нютон.

Интересно е, че ако силата е изцяло радиална - допирателната съставка е нула - ускорението е изцяло центростремително, което води до движение по окръжност (при постоянна по големина сила). Такъв случай се наблюдава при движение на електрон в еднородно магнитно поле, тъй като магнитните силови линии са перпендикулярни на тока.

Момент на импулса - определение: Векторът се определя като момент на импулса. Това е аналог на импулса (p=mv) при постъпателно движение и се запазва във времето, освен ако въртящ момент не го промени. Ако въртящият момент е нула, в дясно на [6] ще е нула ъгловото ускорение, което означава постоянна ъглова скорост и постоянен момент на импулса.

_______________________________________

Без да излагаме засега теория на въртящо се твърдо тяло, нека разгледаме тези примери:

Пример 1
Да си представим неподвижен метален диск, висящ в безтегловност и сила F, която действува в периферията му перпендикулярно на плоскостта, за кратко време - нека смятаме това за удар - както е показано на фиг.1.
Подобно действие биха имали двойка сили F1 и F2, действуващи в противоположни посоки и с еднаква големина.
Резултатът ще бъде, че дискът ще се завърти около оста О₁ и заедно с това ще придобие момент на импулса L₁. (виж фиг.2)
Такова поведение има монетата, която хвърляме при "ези-тура".

Пример 2
Нека сега си представим същия диск в безтегловност, но този път въртящ се около своята ос и следователно имащ някакъв начален момент на импулса - вектор W_P0. Да нанесем същия удар по периферията, както в по-горе, в пример 1. - виж фиг.3
Този път дискът никак няма да подаде в посоката, в която е нанесен удара. По "неочакван" начин той ще промени своята ос на въртене, но така, че ще се завърти около нова ос - O₂ - близка до правата, съединяваща точката на удара и центъра на въртене. (виж фиг.4)

Под действие на въртящия момент на силата F възниква промяна в момента на импулса, означен на фиг.4 като вектор L₁. Ако дискът беше неподвижен, както в пример 1, това щеше да е и целият момент на импулса, който се появява като следствие от удара F (така е изобразен и на фиг.2). Но в този слуай придобития момент L₁ се прибавя към началния вектор L₀. Сумарно новият момент на импулса е L - бялата стрелка на фиг.4 и посоката му е получена по правилото за събиране на векторите L₀ и L₁.

Пример 3
Горния пример (2) може да се представи по-разбираемо, ако заменим диска с едно малко по размери тяло което се върти около център - например е свързано с твърда нишка. Да означим с V₀ линейната скорост в началото и с W₀ - ъгловата скорост (фиг.5). Да повторим удара от пример 1 със сила F действуваща върху тялото и перпендикулярна на плоскостта на въртене - виж фиг.6.
Силата F ще придаде на тялото ускорение и заедно с това промяна
в линейната скорост - виж фиг.7. Тази промяна ще се насложи към текущия вектор на скоростта и тялото ще придобие нова скорост V₁ - векторна сума на началната и придобитата скорост: - виж фиг.8.
Заедно с линейната, ще се промени и ъгловата скорост - да означим новата ъглова скорост с W₁. Но по дефиниция от по-горе вектора на ъгловата скорост (и заедно с него оста на въртене) е насочен по права, минаваща през центъра и перпендикулярна на линейната скорост. Ето защо новата ос и новата ъглова скорост са вече други - виж бялата стрелка W₁ на фиг.8. Ако съпоставим фиг.8 с фиг.4, вече е ясно защо въртящият се диск реагира така "странно".


коментари

Радостин Желязков 27.08.2010 последна редакция 16.03.2013
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика