Принцип на Хамилтон /принцип за най-малкото действие/

Тази статия изисква познаване на функцията на лагранж , функции на две променливи и малко умения за смятане с интеграли.
Те могат да бъдат намерени в учебника по висша математика на Станчо Павлов.

Действие
Нека A и B са начално и крайно състояние при движението на едно тяло в два момента t1 и t2. Да означим с q(t) функцията на обобщените координати от времето. Да допуснем, че има множество такива функции (траектории) и всички те имат еднакви стойности при t=t1 и при t=t2. Да означим с L лагранжевата функция по една такава траектория q. Определеният интеграл на L по времето от момент t1 до момент t2 се нарича действие - означено по долу с буква S.


Смисъл
От механична гледна точка функцията L има размерност на енергия, тоест скалар. Под интеграла има произведение на енергия по време, значи S също е скалар. Числената стойност на S варира при различните траектории и колкото са по-близки две траектории, толкова по-малка е вариацията на S.
Принципът на Хамилтон твърди, че за истинското движение S има минимална числена стойност.

Извод
Да означим с вариацията на траекторията и с вариацията на действието. (чете се делта q и делта S).
Екстремалната стойност на S означава, че трябва е нула за малки вариации на q.
Лагранжевата функция е функция на координати и скорости (точка върху буква означава производна по времето).
Вариацията на S се записва като интеграл по времето t1..t2:
,или като сбор
[отклонение 1]
Да забележим,че и по този начин е удобно да влезе под знака на диференциала.
[/край на отклонение 1]
Второто събираемо от (2) може да се преобразува така:
и след интегриране по части:
(Умаляемото е нула, защото вариацията на q е нула в моментите t1 и t2).
Сега да заместим последния интеграл обрано в (2):
и в (1):
От тук се вижда, че за да е нулева вариацията на S, условието е:
.

Радостин Желязков 05.07.2010
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика