Функция на Лагранж /лагранжиан/
Този материал изисква малко знания за
функции с две променливи
и
частни производни.
Те могат да бъдат намерени в
учебника по висша математика на Станчо Павлов - търсете
- II част - Дефиниции / Частни производни.
Обобщени координати
Това са линейни координати, обикновено различни от декартовите, но декартовите координати са техни еднозначни функции.
Например ако топче се търкаля по твърд улей, една обобщена координата - дължина, измерена по
улея, е достатъчна за да опише позицията му. Точките върху коя да е повърхност могат да бъдат описани с две обобщени координати. По-долу ще разглеждаме случай, в който тяло с маса m е свободно да се движи именно по две обобщени координати. Да означим с малки букви x y z декартовите, а с големи букви X Y обобщените координати. Както вече споменахме x y z са функции на X и Y
Обобщени сили
Нека една сила (означена по-долу с малка буква f ) действува върху движещо се тяло. При преместване тя извършва работа
където dx dy dz са промените на позицията, изразени в декартови координати. От гледна точка
на обобщените координати същата работа може да се изрази като
- тук големите букви F означават две съставки - по обобщените координати - на сила,
която можем да определим като обобщена сила.
Извод
Всяка декартова координата е функция на X Y, следователно трите изменения dx dy dz от дясната страна на равенството (1) могат да се представят чрез измененията dX dY на обобщените координати X и Y
след което изразът за работата (1) ще придобие вид
Ако съпоставим последното равенство почленно с (2), виждаме от десните страни, че
двете съставки на обобщената сила трябва да бъдат
В следващите разсъждения, известно време ще разчитаме на успоредно развитие за двете горни равенства и ще разглеждаме само първото от тях.
Съгласно Втория закон на Нютон, декартовите съставки на f могат да се представят като
произведения на масата по трите компонента на ускорението ax ay az (по-долу точка върху буква означава производна по времето)
След горните три равенства X - съставката на F може да бъде записана като
[отклонение 1]
Първото събираемо на израза вътре в скобите от по-горе се среща и като първо събираемо в едно друго равенство, изразяващо производна по времето t на едно друго произведение:
[отклонение 2]
Да се съсредоточим върху последния множител от горното равенство (3). Той изразява последователно диференциране на x-функцията по X и t, но тъй като X и x са еднозначни функции от
времето t, реда на диференциране може да се промени и да доведе до равностоен израз. За по-лесно разбиране, нека си спомним, че производната на x е всъщност скорост. Разгледана като частна производна по X, тя остава проекция на същата тази скорост и това не може да зависи от поредността на пресмятане:
, или за по-кратко 
[/край на отклонение 2]
И така въпросното първо събираемо може да бъде изразено по разликов начин:
[/край на отклонение 1]
след което изразът за X-съставката на F придобива вид:
[отклонение 3]
Еднозначните зависимости x(t) и X(t) водят лесно до следните три равенства:
- ето илюстрация за първото от тях:
[/край на отклонение 3]
Малко прегрупиране след отклонение 3, в израза за FX води до:
Сега да забележим, че събираемите във вътрешните скоби представляват производни:
След всичко това, се вижда че
Ако приемем означението T за изразите във вътрешните скоби
то двете съставки на обобщената сила F ще изглеждат така /уравнения на Ойлер-Лагранж/:
Ако механичната енергия се запазва, работата (2) извършена от силата F се равнява изцяло
на промяната /намалението/ в потенциалната енергия. Да приемем, че потенциала на системата зависи само от позицията (не от скоростите) на телата. По-долу ще използваме буква U за потенциалната енергия и dU за нейната промяна в интервала dt. Ако една величина има определена числова стойност за всяка точка в пространство, това е скаларно поле. Значи подлежи на диференциране по всяко направление, в частност по обобщените координати X Y. За разглеждания интервал dt, потенциалното изменение ще бъде
при което извършената работа dW може да се изрази по следните два начина:
Но X и Y са независими една от друга и следователно горните две равенства са възможни само при условие, че
Заместването в уравненията на Ойлер-Лагранж води до
или още 
Както казахме по-горе, Потенциалът U не зависи от скоростите и следователно
В такъв случай ако приемем означението L=T-U, равенството (4) както и аналогичното за Y, могат да бъдат записани така:
L се нарича функция на Лагранж.
Радостин Желязков 12.06.2008
________________________________________________________________________________________
учебни статии по физика