Преобразувание на Фурие

Това е помощна статия. Целта й е само запознаване с преобразуванието на Фурие, без много подробности.
Полезни сведения свързани с тази тема има в страницата на Станчо Павлов: Редове на Фурие.

Ред на Фурие
Да допуснем, че x е реална променлива, варираща в интервала ( .. ).
Тогава всяка функция f(x) може да бъде сведена до безкраен сбор:
, [1]
известен под името Ред на Фурие.
Сега да си представим една друга, функция, близка по запис до горната:
. [2]
Тя е интересна, защото в скобите стои Ойлерово комплексно число, умножено по коефициент c_n,
с други думи тя е еквивалент на:
. [3]
Да поставим тази функция в ролята на

Разпределение
и да пресметнем интеграла:
. [4]
Съгласно [3], той ще е
. [5]
Да разгледаме подинтегралния израз - той е равностоен на
.[6]
Сега да обърнем внимание на едно малко множество от

Интеграли
на тригонометрични функции, обстойно разгледани в посветена на тази тема статия на Станчо Павлов.
Функциите sin(x) и cos(x) имат повтарящи се стойности на всеки 2пи от аргументната ос и интегралите им във всеки интервал от 2пи са нулеви. Ако аргументът x е умножен по ненулева константа c, това не се променя. Например при косинусова функция имаме
.[7]
Подобно на [7] би изглеждал и интеграл от sin(cx) в интервала от минус пи до пи, ако c е различно от нула.
Обаче ако константата c е нула, 1/c не е определено и действието [7] не би било възможно.
В този случай, функцията косинус има стойност по целия интервал единица, а функцията синус е нула.
Интеграл от cos(0), при граници между минус и плюс пи, ще даде правоъгълник с височина 1 и основа 2пи.
Интеграл от sin(0), при всяко определено интегриране дава нула.
Следователно интегралът от [5] ще е

,[8]
където с делта е означен символа на Кронекер - той е нула при различни n и m, a при n=m е равен на 1.
И така, сборът J от [5] се свежда до , тоест
.[9]
Индексът m в това равенство съответствува на m от [4]. Можем да го сменим на двете места с n.
Да заместим J от [4] в [9]. Ще получим израз за коефициентите C_n от [3]:
.[10]
Да повторим по-горе записания сбор [3]:
. [=3]
В тази двойка равенства, [10] и [=3], се вижда равновесие: От една страна, функицията f(x) играе разпределяща роля в [10]. От друга страна, коефициентите C_n са разпределящи в сбора [=3]. Но да продължим. Погледнете равенството [10].
Внимание!. Ще "разтегнем" аргументната ос, така, че интервалът 2пи да се проектира върху нов, с дължина L.
Значи да изместим променливата x с нова, y - такава, че:
.[11]
Ако функцията f(x) е периодична с интервал на повтаряне 2пи, то същата функция, с новия аргумент y, е периодична с интервал на повтаряне L.
Това се вижда от пряко пресмятане:
.[12]
Думата "разтегнем" беше, защото тази нова функция, в интервала от -L/2 до L/2, заема същите стойности, както старата f(x) в интервала от -пи до пи.
И така, равенствата [10] и [=3] се презаписват като
,[13]
,[14]
Moжем да сменим обратно y с x - просто като означения, след което двойката [13] [14] ще има следния вид:
.[15]
.[16]
След всичко това, вече няма нужда да се ограничаваме в интервал 2пи.
Следващата стъпка е да направим няколко

Дефиниции
Следват две възможни версии, представени по-долу в две колони:

Версия вълнов вектор-координата	Обща версия
Да дефинираме аргумент k, който съединява в едно двата L и n:
.[17]	.[17.1]
Щом периодът на повторение е L, тогава 1/L ще е единицата честота - най-малката възможна.
Да означим ъгловата версия на тази единица с делта k: . [18]	Да означим единицата честота с делта k: . [18.1]
Нека приемем, че извън интервала -L/2 .. L/2 функцията f(x) има пренебрежимо малка стойност. Тогава границите на интегриране в [15] могат да се разпрострат от минус до плюс безкрайност. Така, че [15] и [16] биха изглеждали като
.[19] .[20]	.[19.1] .[20.1]
Да приемем също означението
.[21]	.[21.1]
Тогава коефициентите Ck ще бъдат:
,[22]	,[22.1]
a сборът [20] би трябвало да изглежда като .[23]	a сборът [20.1] би трябвало да изглежда като .[23.1]
Получихме сбор, който лесно се превръща в интеграл при реална стойност на k.

Така стигаме до обещаното в заглавието

Преобразувание на Фурие

Твърдението "Ако
, [24]	, [24.1]
то
." [25]	." [25.1]
се нарича Теорема на Фурие. Преобразуванието от [24] към [25] е Преобразувание на Фурие. Както виждаме, за всяка функция f(x) от вида [24], се съпоставя друга, F(k), наричана Фурие-образ, чрез [25]. Аргументната двойка k,x може да се тълкува като ъглова честота - време, но също и като вълнов вектор - координата.

Радостин Желязков 20.10.2011
________________________________________________________________________________________

коментари

учебни статии по физика