Стълба на Габриел

Помощна статия.

Геометрична прогресия
Това е поредица (сума) която започва с ненулево число b, а всеки следващ елемент се получава от умножение на предния по едно и също число q.
По-долу сумите са означени с целочислен индекс m, равен на най-голямата степен на q.
Нека b и q са реални числа. Да разгледаме два съседни по m сбора:
, [1]
. [2]
Ако умножим равенството [1] по q и прибавим към него b, ще получим [2] :
[3] .
От друга страна, [1] и [2] се различават само по последния член от [2], тоест
. [4]
Да извадим [3] от [4]. Получаваме уравнението
. [5]
Решението на това уравнение спрямо сбора S_m е
. [6]
И то изразява сбора на първите m събираеми в геометричната прогресия. При големи индекси m и при 0<q<1, втория член на числителя клони към нула.
По долу ще приемем, че b=1 и 0<q<1.
Тогава формулата за сбора, при индекс, растящ от нула до m е
. [7]
При безкрайно нарастване на индекса m, границата на сбора от [7] е
. [8]

Стълба на Габриел
Да разгледаме сбора
[9] ,
наричан някъде Стълба на Габриел.
Макар с безкраен брой събираеми, този сбор има крайна стойност. Станчо Павлов ми показа един хубав начин да го намерим - изложен тук:
Да разделим двете страни от [9] с множителя q. Получаваме
[10] .
Интегралите на двете страни от [10] по q ще бъдат
,
където C е някаква константа. Ние не знаем колко е тя, но знаем, че има друга, C₁ , която е с едно по-малка, тоест C = C₁+1.
В такъв случай последното равенство може да се запише като
[11] ,
(виж по-горе [7] и [8]). Обратно, производните на двете страни от [11] по q са
[12] .
От тук се вижда, че сбора на Габриел е
[13] .





коментари

Радостин Желязков 21.05.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика