Гаусови интеграли

Тук са пресметнати Гаусовите интеграли едно, нула, две, четири (I₁, I₀, I₂, I₄).
Други статии се обръщат към тези интеграли за справка.
Гаусов интеграл с индекс m е при m=0,1,2...
По-долу те са представени при отместен параметър a²=b.

Интеграл едно
Той е лесен за решаване :
, или кратко
. [1]
* * *

Интеграл нула
Интегралът I₀ изглежда така:
.
Пресмята се всъщност неговият квадрат.
.
Квадрата на I₀ покрива първи квадрант от декартова координатна система.
Правим преход към полярни координати:
,
заменяме декартовия повърхностен елемент с полярен:
.
Нагласяме границите в полярния интеграл като за първи квадрант :
.
Заместваме I₁ от [1] и за I₀ остава:
. [2]
* * *

Интеграл две
Интегралът I₂ изглежда така:
.
Ако положим b=a², Интеграл нула от по-горе (виж [2]) се записва като
, [3]
а I₂, се превръща в
.
Той се представя като производна на [3] по параметъра b :
. [4]
Имайки предвид [2], извършваме действието в [4]
След като заместим обратно b=a²,
оконачтелно за интеграл две получаваме :
. [5]
* * *

Интеграл четири
Всички четни индекси се получават по начин подобен на I₂. Производната I₂ по b води до индекс 4:
.
Пресмятаме я:
.




коментари

Радостин Желязков 01.05.2011 / последна редакция 11.07.2013
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика