Трептящ кръг

Трептящ кръг

Тук се тълкува на значението на фразата "периодичен процес".
Казано е какво е уравнение на хармоничен осцилатор как то е свързано с елетротехническия трептящ кръг.
Добре е да сте запознати с материала на Станчо Павлов Формула на Ойлер.

Думата период
идва при нас от древногръцки. Буквално се превежда на Български език като "обход", "заход". Смисълът е движение по периметъра, заобикаляне. Един процес се определя като периодичен, ако след известно време се оказва в началното си състояние. Едномерният случай на такъв процес е отиване от точка A до точка B и връщане обратно (фиг.1).

Като физично понятие периодът е време, след което се възстановява началното състояние.
При движение на материална точка, "Да се върне в начално състояние" означава
да се окаже в същата позиция - тоест координата (и същата скорост), от която е започнало движението.

На фиг.2 това е изобразено в координатна система t/x. В най-простия случай движението би трябвало да е с постоянна скорост (производна по времето), затова жълтата линия е права. Но в точката B, където тялото придобива обратна по посока скорост се случва нещо неестествено - ъгъл, който изражда графиката на движение в пречупена линия.
Неестествено, защото първата производна по времето не е достатъчна, за да опише периодичен процес. Равномерно праволинейно движение не може да доведе движещото се тяло до началната му точка.
Освен това, в природата ъгли "няма". Непрекъснатостта интуитивно предполага, че скоростта плавно пада до нула и после нараства в друга посока, както е подчертано на фиг.2.
Пак от фиг.2 се вижда, че движението на това място се представя с крива. Геометричният примитив за крива е окръжност или елипса - израз от втора степен (фиг.3). Ето как периодиката се асоциира с движение по затворена крива, тоест цикъл. Именно времето за което се извършва цикъла се означава с T и се нарича Период. Както виждаме, периодичното движение изисква променлива скорост. Промяната в скоростта е всъщност втора производна на координатата по времето и се определя като

Ускорение
Следователно математическият израз който описва периодично движение трябва да съдържа втора производна на координатата по времето. Но за да се завърне тялото там, откъдето е тръгнало е нужна сила, действуваща в посока към началната точка. В едномерния случай силата трябва да нараства с координатата, но с противоположен знак, например

. [1]
Известно равенство, в което участвуват ускорение и сила е формулата на Нютон

, [2].
С него, приемайки [1], можем да напишем уравнението:

, [3]
Да оценим коефициента k/m. В ляво размерността е метър/секунда². Отдясно x е в метри. Излиза, че k/m трябва да има размерност единица/секунда².
Честотата се измерва с единица/секунда. Всъщност коефициентът k/m представлява честота на квадрат и най-често [3] се записва още като известното

Уравнение на хармоничния осцилатор
При функция x=x(t) - не непременно дължина, то изглежда така:

. [4]
С малка гръцка буква омега е означена честота, по-точно брой цикли в секунда умножени по 2пи, тоест

.
Множителят 2пи е за съвместимост с тригонометричните синус/косинус функции (виж по-долу). Но да потърсим

Решение
Каква би била функцията x=x(t), която удовлетворява уравнението [4]?
Ще опитаме по метода "предположи" и "провери". Да предположим, че функцията е комплексна

, където i е имагинерната единица. Да проверим. Първата производна е

, а втората

.
Съпоставката с [4] показва, че това действително е решение. Не е трудно да проверим, че функцията

също е решение на [4].
Видът на [4] ни подсказва, че функцията x(t) може да бъде умножена с константа и ще остане решение. Сбор от две решения - също. Даже произволна линейна комбинация от решения е също решение. В частност формулите на Ойлер за представянето на тригонометричните функции (има линк по-горе, в началото):

са решения на [4]. Решение е и тяхната линейна комбинация

, [5]
където As и Ac са константи. Ето как хармоничните трептения се описват от синусови и косинусови функции.

* * *
Двойка уравнения като [1] и [2] се срещат повече от веднъж във физиката.
Разбира се пример номер едно е

Законът на Хук
Той е всъщност изразен с [1]: Еластичната сила F_x е право пропорционална на деформацията x.
Ако една еластична пластинка (пружина) бъде деформирана и отпусната в неравновесна позиция, ще възникнат периодични колебания, тоест ще е налице хармоничен осцилатор, описван от уравнението [4].

Пример номер две за аналогична двойка равенства от горния тип [1] и [2] се намира в електромагнитния

Трептящ кръг

Да допуснем, че веригата на фиг.4 е в равновесие: Това значи, че кондензаторът е зареден до напрежението на източника и токът е нулев. Ако завъртим ключа в положение 2 (пунктирната линия), по веригата ще протече ток. Този ток е всъщност скоростта, с която намалява заряда в кондензатора:

, [6]
Очевидно токът няма да е постоянен, тъй като заедно с намаляване на заряда, ще намалява и напрежението.
Когато токът се променя, това е производна на [6] по времето:

. [7]
Променливият ток индуцира напрежение в намотката L по правилото

, [8]
От [8] и [7] се вижда, че

. [9]
За кондензатора - с капацитет C - винаги е валидно отношението

. [10]
Но краищата на индуктивността L и кондензатора C са свързани, така, че
веригата е затворена и за нея важи правилото на Кирхоф - сбора от всички падове на напрежение е нулев:

. [11]
Сега ако погледнем двойката уравнения [10] и [9], и имайки предвид [11], можем да ги уподобим на [1] и [2] от по-горе.
Това веднага води до уравнение, аналог на [3] и [4]:

, [12]
което е уравнение на хармоничен осцилатор, при ъглова честота, определена от равенството

. [13]
В общия случай, в такава система ще възникнат свободни хармонични трептения.
При описанието по-горе не е взето предвид топлинното действие на протичащия ток.
Но обикновено такова има и трептенията затихват - по аналогичен начин, както колебанията в пружина или махало.

коментари

Радостин Желязков 14.04.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика