Преобразувание на Фурие-Обща версия

Това е клон от предната статия: Преобразувание на Фурие.


От предната статия
са важни двете равенства
.[15]
.[16]

Дефиниции
Обща версия
Да дефинираме аргумент k, който съединява в едно двата L и n:
.[17.1]
Щом периодът на повторение е L, тогава 1/L ще е единицата честота - най-малката възможна. Да означим единицата честота с делта k:
. [18.1]
Нека приемем, че извън интервала -L/2 .. L/2 функцията f(x) има пренебрежимо малка стойност.
Тогава границите на интегриране в [15] могат да се разпрострат от минус до плюс безкрайност.
Така, че [15] и [16] биха изглеждали като
.[19.1]
.[20.1]
Да приемем също означението
.[21.1]
Тогава коефициентите C_k ще бъдат:
,[22.1]
a сборът [20.1] би трябвало да изглежда като
.[23.1]
Получихме сбор, който лесно се превръща в интеграл
при реална стойност на k.

Така стигаме до вече известното

Преобразувание на Фурие

Твърдението "Ако
, [24.1]
то
." [25.1]
се нарича Теорема на Фурие. Преобразуванието от [24.1] към [25.1] е Преобразувание на Фурие.
Както виждаме, за всяка функция f(x) от вида [24.1], се съпоставя друга, F(k), наричана Фурие-образ, чрез [25.1].
Аргументната двойка k,x може да се тълкува като ъглова честота - време, но също и като вълнов вектор - координата.



Радостин Желязков 23.10.2011
________________________________________________________________________________________

коментари

учебни статии по физика