Символи на Кристофел


Този текст подпомага разбирането на математическия апарат в Общата Теория на Относителността (ОТО).
Трябва да сте гледали Матрицата I, Матрицата II и Матрицата III.
Статията Ковариантна производна дефинира за първи път Г-символите.

Криволинейно пространство
Ако векторите на координатния базис са допирателни към някакви гладки криви, тези криви могат да бъде разглеждани като криволинейни координати, съставящи многообразие - "криволинейно" или обобщено пространство. Ние можем да съпоставяме (тоест сравняваме, диференцираме, събираме) само такива вектори, които принадлежат към допирателно пространство в една точка от многообразието. При преход от една към друга точка се налага специална корекция, означавана с Г-символ (Гама символ, или Символ на Кристофел), осигуряваща

Плавен преход от базис в базис.
Символите на Кристофел се дефинират като
[1],
тоест те показват как се променят базисните вектори по направление на вектор с компоненти x^k. Ако пространството е 4-мерно, това е структура от 4³=64 числа. Г-символите са чисто геометрично изобретение. Те не са тензори - това беше показано в статията ковариантна производна. В същата статия обаче е показано как те компенсират нетензорната съставка при преобразуване на производните между два съседни базиса. Сега ще покажем, че

Г-символите са симетрични по долните два индекса
- в случая q k: Да си спомним, че всеки вектор се изразява чрез компонентите си като [2].
Базисните вектори не зависят от компонентите на V, затова можем да смятаме, че , или [3].
Можем да сменяме реда на диференциране, така, че от [1] и [3] се вижда : [4],
което показва, че Г- символите са симетрични по q и k - долните (десни) два индекса.
Г-символите от [1] се наричат още Символи на Кристофел от втори род. Има и

Символи на Кристофел от първи род,
те се дефинират по следния начин:
[5].
С тази дефиниция е удобно да намерим връзка между Г-символите и метричния тензор.
Използуваме симетрията по десните два индекса, показна по-горе в [4]:
[6].
Да забележим, че [7]
и следователно . [8]
Аналогично . [9]
Да заместим [8] и [9] в [6]: получаваме . [10]
Последните два члена от [10] се преобразуват лесно пак поради симетрията, след което получаваме как точно

Г-символите се изразяват чрез метричния тензор:
. [11]
Да погледнем дефинициите [1] и [5]. След като знаем способността на метричния тензор да "вдига" и "сваля" индекси, тоест ,
виждаме и връзката между Гама-символите от първи и втори род: . [12]
Така от [11] и [12] виждаме, че Г-символите от втори род се изразяват чрез метричния тензор като:
. [13]



коментари

Радостин Желязков 29.10.2010
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика