Дуален базис

Дуален базис

Този текст подпомага разбирането на математическия апарат в Общата Теория на Относителността (ОТО).
Трябва да сте гледали Матрицата I , Матрицата II и Матрицата III.

Координатни трансформации
Дуализъм при векторните координати се проявява при представяне в неправоъгълна координатна система.
По-долу е направена съпоставка на прехода при ортонормирана и остроъгълна /афинна/ к.с.
Ако един координатен базис (e₁ e₂ e₃) се преобразува в друг (e_1' e_2' e_3')

Ортонормирана координатна система	Остроъгълна координатна система
преобразованието за базисните вектори е е_i' = T_{i' k} е_k .	преобразованието за базисните вектори е е_i' = T_i'^k е_k .
	Дефинираме дуален базис е¹ е² е³ - така, че произведението е_j е^k е единична матрица.
Да умножим отдясно с е_m . Получаваме е_i' е_m = T_{i' k} е_k е_m . Тъй като базисните вектори са ортогонални, T_{i' k} е_k е_m = T_{i' m} откъдето следва, че T_{i' m} = е_i' е_m , тоест елементите на трансформацията се получават като произведения "нов по стар" базисен вектор.	Да умножим отдясно с е^m . Получаваме е_i' е^m = T_i'^k е_k е^m , Поради дефиницията на дуалния базис, T_i'^k е_k е^m = T_i'^m откъдето следва, че T_i'^m = е_i' е^m , тоест елементите на трансформацията се получават като произведения "нов по стар дуален" базисен вектор.
	преобразованието за дуалния базис е друго: е^i' = D^i'_k е^k
	Да умножим отдясно с е_m . Получаваме е^i' е_m = D^i'_k е^k е_m , Поради дефиницията на дуалния базис, D^i'_k е^k е_m = D^i'_m откъдето следва, че D^i'_m = е^i' е_m , тоест елементите на трансформацията се получават като произведения "нов дуален по стар" базисен вектор.

--
Основният и дуалният базис се преобразуват с различни матрици на преобразованието.
Компонентите на векторите са в основен базис.
Компонентите на ковариантните вектори са в дуален базис.

коментари

Радостин Желязков 07.10.2010
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика