Дуален базис


Този текст подпомага разбирането на математическия апарат в Общата Теория на Относителността (ОТО).
Трябва да сте гледали Матрицата I , Матрицата II и Матрицата III.


Координатни трансформации
Дуализъм при векторните координати се проявява при представяне в неправоъгълна координатна система.
По-долу е направена съпоставка на прехода при ортонормирана и остроъгълна /афинна/ к.с.
Ако един координатен базис (e1 e2 e3) се преобразува в друг (e1' e2' e3')

Ортонормирана координатна система Остроъгълна координатна система
преобразованието за базисните вектори е
еi' = Ti' k еk .
преобразованието за базисните вектори е
еi' = Ti'k еk .
Дефинираме дуален базис е1 е2 е3 - така, че произведението еj еk е единична матрица.
Да умножим отдясно с еm . Получаваме
еi' еm = Ti' k еk еm .
Тъй като базисните вектори са ортогонални, Ti' k еk еm = Ti' m
откъдето следва, че
Ti' m = еi' еm ,
тоест елементите на трансформацията се получават като произведения
"нов по стар" базисен вектор.
Да умножим отдясно с еm . Получаваме
еi' еm = Ti'k еk еm ,
Поради дефиницията на дуалния базис, Ti'k еk еm = Ti'm
откъдето следва, че
Ti'm = еi' еm ,
тоест елементите на трансформацията се получават като произведения
"нов по стар дуален" базисен вектор.
преобразованието за дуалния базис е друго:
еi' = Di'k еk
Да умножим отдясно с еm . Получаваме
еi' еm = Di'k еk еm ,
Поради дефиницията на дуалния базис, Di'k еk еm = Di'm
откъдето следва, че
Di'm = еi' еm ,
тоест елементите на трансформацията се получават като произведения
"нов дуален по стар" базисен вектор.


--
Основният и дуалният базис се преобразуват с различни матрици на преобразованието.
Компонентите на векторите са в основен базис.
Компонентите на ковариантните вектори са в дуален базис.



коментари

Радостин Желязков 07.10.2010
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика