Уравнения на Хамилтон

Хамилтон е написал тези уравнение 45 години след Лагранж.
Той се е възхищавал от Лагранжевия подход и го е определил като "научна поема".
Трябва да сте запознати с Функция на Лагранж.

Формализъм
В уравнението на Ойлер-Лагранж
[1]
с L е означена Лагранжевата функция
, [2]
с q са означени обобщените координати, а техните производни по времето са означни с точка върху буквата
(виж обобщени координати и скорости от статията за Лагранж).
Лагранжевата функция е L=T-U , където T и U са кинетична и потенциална енергия.
Уравнението на Ойлер-Лагранж [1] , както и Хамилтоновите уравнение по-долу са пряко следствие от Нютоновата механика.
Но те не съдържат явни зависимости от маса и декартови координати.
Това са целенасочени обобщения, което ги прави удобни за прилагане в някои случаи.
Хамилтон въвежда понятието

Обобщен импулс
който представлява производна на Лагранжевата функция по обобщената скорост:
. [3]
Тази дефиниция е подбрана така, че да е напълно съвместима с Нютоновия импулс в декартови координати.
Ето една илюстрация: Тъй като потенциалната енергия U не зависи от обобщените скорости,
. [4]
При движение на едно тяло с маса m и скорост v, в декартови координати получаваме
. [5]
* * *
Заедно с обобщения импулс Хамилтон въвежда и наречената по-късно

Функция на Хамилтон
[1h]
- като функция на обобщени координати, обобщени импулси и време. Тази функция се нарича понякога Хамилтониан.
Тя произвежда две уравнения, които описват движението на механичната система:
[2h]
[3h]
Те се наричат Уравнения на Хамилтон или понякога канонични уравнения.
Постановката на Хамилтон [1h], [2h], [3h] често се възприема като базова, тоест отправна точка за разсъждения.
По-долу обаче е показано как тя следва от Лагранжевото уравнение [1].
Хамилтоновата функция представлява образ на Лагранжиана, получен чрез

Трансформация на Лежандър
Лежандър е френски математик - асоцииран член на Парижката академия, високо почитан от Лагранж и негов съвременник, от времето на Наполеон.
Лежандровата трансформация построява от една реална, друга реална функция.
Следва описание на тази процедура, в контекста на нашата цел:
Нека f е реална функция на две променливи . [Le1]
Да означим частните производни по двете променливи с буквите u и v: и . [Le2]
Диференциала (безкрайно малката промяна) на такава функция изглежда така: . [Le3]
Образа (новата функция) се дефинира като друга функция , [Le4]
в която, както виждаме едниния аргумент е заменен с производната на f по x.
и (внимание!) новата функция има вид: . [Le5]
Диференциала на новата функция би бил . [Le6]
тоест, имайки предвид [Le3] ,
и остава . [Le7]
Сега, ако запишем по аналогия с [Le2] и [Le3] диференциала на g : , [Le8]
съпоставката на [Le8] и [Le7] води до и . [Le9]
Да пристъпим към нашето преобразуване, тръгвайки от функцията . [Le10]
ще построим нейн образ . [Le11]
По аналогия с [Le5], той би трябвало да има вид . [Le12]
Да заместим в [Le12] дефиницията на обобщения импулс от [3]: . [Le13]
Да пресметнем и диференциала на [Le13]: . [Le14]
В третия член на [Le14] виждаме като множител [3], тоест .
така диференциала на H остава . [Le15]
Съгласно уравнението на Ойлер-Лагранж от [1] и [3] можем да изразим , [Le16]
а ако заместим това в [Le15], виждаме, че . [Le17]
Но на общо основание, според [Le11] трябва . [Le18]
За да бъдат верни [Le18] и [Le17] е нужно и [Le19] .
Последните две равенства съвпадат с [2h] и [3h] - каноничните Хамилтонови уравнения.
* * *
Обобщените координати и обобщените импулси съставят пространство, наричано понякога

Фазово пространство
Има пример как фазовото пространство може да е образно:
Да си представим пружина с линейно нарастваща еластична сила F=-kx , в края на която има маса m.
Потенциалната енергия, при отклонение x от равновесното положение е
, а кинетичната .
Пълната енергия можем да запишем като
. [6]
Да въведем фазова координата , фазов импулс и да означим . [7]
В такъв случай [6] е еквивалент на уравнвние на окръжност:
, [8]
тоест отговарящо на идеята за хармоничен осцилатор, какъвто е описан в статията "Трептящ кръг".

Функцията на Хамилтон най-просто се тълкува като сбор от кинетична и потенциална енергия: H=T+U, тоест като

Пълна енергия
на механичната система.
По-горе в [6] има ясен израз на такава енергия - за хармоничния осцилатор и от нея се вижда например, че двете производни са
, [9]
. [10]
което съвпада с каноничните уравнения [2h] и [3h] от по-горе.



коментари

Радостин Желязков 20.04.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика