Набла операции

Помощна статия
Трябва да сте запознати с: Векторно произведение , Частни производни. Погледнете и Статията за градиент.
В този текст са ползувани долни и горни индекси, но при декартови координати, както е в класическата физика, това няма значение.

Набла оператор
Да изберем пространство с координатни индекси 1,2,3.
По дефиниция Набла операторът е вектор с компоненти:
, или кратко . [1]
Резултатът от прилагането му е равносилен на бинарна операция, в която първият операнд е вектор, а вторият може да е скаларна, или векторна функция върху същото пространство.

Набла операторът се нарича още Оператор на Хамилтон.
Думата "Набла" е название за старинен струнен музикален инструмент (фиг.1).

Градиент
Ако f е скаларна функция на трите координати f (x¹,x²,x³) , то резултатът от Набла-операцията с вектора f се нарича Градиент - grad f.
Това е еквивалентна операция на умножение вектор по число.
Означава с "grad" и представлява вектор с координати
, или кратко . [2]

Дивергенция
Ако f е векторна функция на трите координати f (x¹,x²,x³) , то резултатът от скаларното умножение на вектора Набла по вектора f се нарича Дивергенция.
Дивергенцията е скалар (число) и е комутативна операция. Означава се с "div" и представлява сбор:
, или кратко . [3]
Една различна дефиниция, водеща веднага до Теоремата за Дивергенцията е показана в статията "Уравнение на Поасон".


Ротация
Ако f е векторна функция на трите координати f (x¹,x²,x³) , то резултатът от векторното умножение на вектора Набла по вектора f се нарича Ротация.
Еквивалент на векторно произведение на два вектора. Не е комутативно. Означава се с "rot" и представлява вектор с координати
, или кратко . [4]
Понякога е удобно представянето . [4.1]
Друга дефиниция, водеща веднага до Теоремата за Ротацията е показана в статията "Уравнения на Максуел".

Набла е производна
Правилото на Лайбниц е приложимо. Според Спас Манолов и др. Държавно издателство Техника 1977 г. стр 124
"Ако операторът набла действа на произведение от две полета, то той е равен на сумата от две събираеми, като
в първото събираемо набла действа на единия множител, а на другия не действа а във второто събираемо имаме обратното".
С наши означения това изглежда така:
Ако u v са скаларни полета, то ; [L1]
Ако u е скаларно, а F е векторно поле, то . [L2]
Aко A и B са две векторни полета и ако A е скаларно умножено по B, то . [L3]

* * *
В страниците са използувани някои важни моменти от набла-смятането:

Тъждествo 1
div rot f = 0.
Коментар: Ротацията е векторно произведение и резултатът е вектор, перпендикулярен на двата операнда, в частност на вектора Набла. В този случай дивергенцията - като скаларно произведние между два перпендикуларни вектора е винаги нула.

Тъждествo 2
. [5]
Доказателство: Да означим лявата част с L и да я пресметнем:
. [6]
Да означим двете съставки от дясната страна на [5] с R1 и R2:
, .
Сега да разкрием скобите за L:
[7]
И после за R1 и R2:
, [8]
[9]
От [7] , [8] , [9] се вижда, че L = R1 - R2, с което [5] е доказано.
Коментар: Тройката "набла ( A x B )" може да се разглежда като смесено произведение.


коментари

Радостин Желязков 31.03.2011
с любезното съдействие на Станчо Павлов
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика