Неопределеност на Хайзенберг

Хайзенберг публикува тази си находка през 1927 г. - една година след уравнението на Шроьодингер.
Тук са ползувани предни статии: Гаусово разпределение, Материални вълни, Преобразувание на Фурие.

Вълновият пакет
представлява линейна комбинация - интеграл, за първи път споменат в предишната статия "Материални вълни" равенство [17].
Общо той изглежда като
, [1]
където f(k) е

Амплитудно разпределение
с пик k=k₀ , в k-пространството (k е означение за вълнов вектор).
Ако мислено фиксираме времето в момент t=0, ще остане само зависимостта от k-вектора и горната линия би била
. [2]
Да отбележим, че все още не знаем точния вид на разпределението f.
Нека допуснем за момент - като най-просто, че то е нормално (Гаусово).
Около точката k=k₀ и при стандартно отклонение = сигма, Гаусовото разпределение би представлявало функция от вида :
. [3]
Това сигурно е грешно предположение, но ще го ползуваме за момента.
Да приемем временно означението
, [4]
където (Пси-черта) е неизвестния разпределител. Да заместим това в [2]. Ще получим
. [5]
Сега е момента да си спомним за Преобразуванието на Фурие - равенство [24].
Последното равенство [5] е идентично с първото от Фурие-двойка. Да запишем второто:
. [6]
Ха! Излиза, че неизвестното разпределение е

Фурие-образ
на самата Пси-функция. Сега да уточним грубото предположение, което направихме по-горе в [3].
След казаното дотук виждаме, че правилната версия за разпределението трябва да е :
, [7]
където вълничката (~) означава "е пропорционално на", a с делта k и x са означени стандартни отклонения,
тоест ширини на камбанките спрямо вектора k и координатата x.
Да съпоставим степенните показатели от [6] и [7]. Изразът -ikx от [6] няма записан знаменател, което е равносилно на знаменател 1.
Степенният показател от [7] има знаменател . Тези двата трябва да са равни и следователно
, [8]
Имайки предвид израза за импулса , [9]
горният запис [8] води до едно

Известно отношение
между координатно и импулсно вероятностно отклонение
, [10]
наричано Неопределеност на Хайзенберг.
Фурие-трансформациите имат в известен смисъл реципрочен характер. Въпреки безкрайните граници при интегриране, различните знаци в експоненциалните показатели, както и свързващата "трикова дефиниция" [21] от статията за Фурие показват, че ненулевите области на двете функции и двата аргумента са такива, че ако едната област се разширява, то другата се свива и обратно.



Радостин Желязков 26.10.2011
________________________________________________________________________________________

коментари

учебни статии по физика