Уводът на Ландау

Никъде не съм срещал толкова красиво и силно изложение, както в курса по теоретична физика под ръководството на Л. Д. Ландау.
Написаното тук е преразказ на част от уводните текстове в том 3.
Има връзка с предни статии: Оператори, Материални вълни, Уравнение на Шрьодингер.


Собствени Пси-функции
Нека f е физична величина с дискретно множество от собствени стойности .
Да означим с вълновата функция, описваща такова състояние, при което измерването на f ще даде стойност .
Съгласно принципът на суперпозицията - дефиниран в статията "Оператори",
- функцията може да се представи като линейна комбинация от - функции, съответствуващи на - стойностите:
, [1]
където a_n са някакви коефициенти.
Така, всяка Пси-функция може да се разложи на множество функции по коя да е физична величина f - наричани Собствени Пси функции.
Горният сбор [1] дава възможност да оценим каква е вероятността за резултат f_n при измерването на f.
От статията "оператори", равенство [3] знаем, че вероятността е линейна по , също и по . Двата равностойни множителя под знака за сума от [1] показват, че тя е билинейна и по a-коефициентите. Тази вероятност е реално положително число - единица, когато съвпада с и нула във всички останали случаи. Такова число може да бъде само
[2].
Тоест a-коефициентите изразяват вероятностно разпределение. В такъв случай, те трябва да имат сбор единица:
[3].
- точно както и Пси функцията. С други думи е вярно следното равенство:
[4].
Сега да обърнем внимание на комплексно-спрегнатата Пси-функция. За нея важи аналогично на [1] равенство:
[5].
Да умножим двете страни на това равенство с Пси:
[6]
и да интегрираме по цялото q-пространство. Ще получим:
. [7]
Да съпоставим [7] и [4]. Вижда се, че
[8]
и така получихме израз за a-коефициентите:
. [9]
Да заместим [1] в [9]:
. [10]
Щом е вярно горното равенство [10], то със сигурност можем да твърдим, че
, [11]
или, казано с думи собствените функции образуват ортонормирано множество.

Средни стойности и оператори
Имайки от по-горе (равенство [2]) представа за вероятностния характер на а-коефициентите, можем да дефинираме по естествен начин средното на величината f. По уговорка средната стойност се означава с хоризонтална черта над буквата и представлява сбор:
. [12]
[Отклонение 1]
Да умножим равенството [1] с комплексно-спрегнатата Пси функция и да интегрираме по цялото пространство:
. [13]
Да препишем условието за нормировка от [4] по-горе като
. [14]
Така получихме израз за комплексно-спрегнатите a-коефициенти:
. [15]
[/Край на Отклонение 1]
Да заместим [15] в [12}:
. [16]
или по-кратко:
. [17]
Сега да дефинираме оператора като спазащ условието:
. [18]
Съпоставката на последните две показва какво точно е действието на оператора над Пси-функцията:
. [19]
[Отклонение 2]
Да заместим тук a-коефициентите според [9] :
[20]
(с изместена интегрална променлива q' за да не се смеси с основния аргумент q). Да изолираме функцията:
[21]
- тя се нарича ядро на оператора. С това действието от [19] се записва като:
[22]
[/Край на Отклонение 2]
Ако в [19] съвпада с някоя собствена функция, съответния a-коефициент ще е равен на едно а всички останали ще са нулеви и тогава то ще има вид:
. [23]
След всичко това може да се твърди, че собствените функции за коя да е физична величина f са решения на уравнението:
. [24]


Радостин Желязков 15.06.2012
________________________________________________________________________________________

коментари

учебни статии по физика