Оператори

В тази статия са обобщени тълкувания от време, значително по-късно от момента на създаване на квантовата механика.
Тук са ползувани предни статии: Материални вълни, Неопределеност на Хайзенберг, Уравнение на Шрьодингер.

След предните няколко статии навлязохме по-дълбоко в предмета и е добре е да потърсим ред в квантово-механичните представи.
В квантовата механика са възприети дефинитивно няколко принципа и основни положения.
Ще ги изброим накратко - някои от тях са вече познати по един или друг начин.

Принцип за неопределеността
Отсъствието на траектория и координатно-импулсната неопределеност вече са коментирани
в предни статии Материални вълни и Неопределеност на Хайзенберг.
Измерването винаги променя квантово механичния обект.
Онова което нашите сетива виждат също е резултат от взаимодействието между
квантовите обекти и заобикалящата ги среда, тоест така нареченото "измерване" съществува винаги.
Принципно, в квантовата механика се предполага, че макро-класическите променливи
не просто се регистрират, а СЕ ПОЯВЯВАТ като резултат на същото това "измерване" - с определена вероятност.
С други думи, при взаимодействието (или измерването), с някаква вероятност се поражда стойност за измерваната променлива.
В този смисъл наличието и стойността на класически параметри е гарантирано само по вероятностен начин.
Задачата на квантовата механика е да пресметне именно тези вероятности.
Важна особеност при измерванията е, че не винаги всички променливи са определени.
Примери за това са двойките импулс-координата и време-енергия.
Затова понякога се говори за набор едновременно измерими променливи.

Принцип за съответствието
В граничните случаи, когато размерите, точностите и явленията клонят към класическите,
резултатите получени по квантово-механичен подход, трябва да клонят към тези, които дава класическата физика.

Пси-функцията
Нека означим с буква q съвкупността от всички координати на квантово-механичната система.
Състоянието на системата в един момент се определя от една комплексна функция на координатите .
При това произведението е вероятност координатата q да заема стойности в промеждутъка dq.
Така, че квадрата на модула на тази функция
[1]
представлява вероятностното разпределение на координатата q.
Очевидно то трябва да е нормирано, тоест
. [2]
Пси-функцията се нарича още вълнова функция. Чрез вълновата функция се получават вероятностни изрази
за стойността на физичните променливи. Тези изрази имат интегрален вид :
, [3]
при което функцията фи = [4]
зависи от конкретната променлива.
Ако например положим , [5]
(за Делта функцията на Дирак виж [11] от статията "Уравнение на Поасон" ),
то подинтегралната функция от [3] ще се приравни точно към [1] около координатна стойност q₀.
Ако в интеграла [3] заменим Пси-функцията с друга от вида
, [6]
където алфа е реално число, то интегралът [3] няма да се промени.
Значи Пси-функцията е свободна до множителя , [7]
наричан понякога фазов множител. Фазовата неопределеност на Пси-функцията е неизбежна,
но тя не влияе на физичните променливи, тъй като интегралът от [3] ще има една и съща стойност.
Най-често Пси функцията зависи не само от координатите, но и от

Времето
Ако приемем, че Пси напълно определя статуса в някакъв начален момент и знаем зависимостта от времето ,
то състоянието - пак чрез Пси-функцията, във всички бъдещи моменти от време е също определено.
Един пример за подобна зависимост вече е даден в статията Уравнение на Шрьодингер, равенство [11]. Но както е отбелязано по-горе,
да не забравяме, че променливите са определени по статистически (вероятностен начин).

Принцип за суперпозицията
Практически, в една предна статия Материални вълни, равенство [17] ние вече използувахме този принцип.
Формално той може да бъде изразен чрез следното твърдение:
Нека функцията описва такова състояние, че при измерване на някаква променлива, се получава резултат 1.
Нека функцията описва друго състояние - такова, че при измерване на същата променлива, се получава резултат 2.
Тогава всяка линейна комбинация (c₁ и c₂ са някакви коефициенти),
описва състояние, при което измерването на тази променлива, води или до резултат 1, или до резултат 2.

Ако една система е съставена от две части, напълно описани от функциите и ,
то цялата система е също напълно описана (обратното, разбира се, не е вярно - ако знаем описващата функция за цялата система, това не е достатъчно за да опишем нейните части).
Нека при измерване на координатата q₁ в първата част - описвана от - се получава с известна вероятност стойност Q₁,
а във втората част - описвана от - се получава - с друга вероятност - стойност Q₂.
В такъв случай, можем да твърдим, че вероятността първата координата да има стойност Q₁
И заедно с това втората координата да има стойност Q₂, е произведение от двете вероятности.
Това значи, че вълновата функция за съставната система е .

Собствени стойности
В класическата физика, най-често физичните величини са от непрекъснато множество стойности - както реалните числа.
В квантовата механика се приема, че физичните величини могат да приемат само някой стойности, наречени техни собствени стойности.
Собствените стойности може да са от непрекъснато множество - наречено непрекъснат спектър.
Но това не винаги е така и често собствените стойности образуват дискретно множество или дискретен спектър.

Оператори
Да разгледаме производната . Може да се каже, че това е резултат от действието на диференциален оператор върху функцията .
По подобен начин произведението AF може да се разглежда като резултат от действието на умножаващ оператор A върху функцията F.
Формално казано, квантово-механичните оператори са линейни, тоест
1. Ако F и G са две функции и ако c₁ и c₂ са някакви константи, A(c₁F+c₂G)=c₁(AF)+c₂(AG) .
2. Aко A B са два оператора, C=c₁A+c₂B е трети оператор, такъв, че ((c₁A)+(c₂B))F = CF .
Последното е възможно само при условие, че A B са едновременно измерими физични величини.
Последователното прилагане на два оператора A B е еквивалент на прилагането на трети оператор C,
наричан произведение на двата: C=AB. Произведението не е комутативно и ако F е някаква функция, то има вид CF=(AB)F=A(BF) .
Една физична величина е съответна на резултат от действие на съответен оператор върху Пси-функцията.
Да си спомним уравнението на Шрьодингер за свободна частица и да го напишем във вида:
. [7]
Сега да дефинираме два оператора: Оператор на енергията и Оператор на импулса [8]
(шапка над буква ще означава оператор).
В такъв случай по-горното равенство [7] ще е еквивалент на отношение между оператори:
, [9]
което е съответно на изходния класически израз за енергията, възприет в статията за Шрьодингер, равенство [7].




Радостин Желязков 04.11.2011
________________________________________________________________________________________

коментари

учебни статии по физика