Формула на Лармор

Това е част от класическата електродинамика.
Изведен е по сравнително прост начин израза на Лармор за излъчване от ускорена частица.
Лармор е живял заедно с Ръдърфорд и Дж. Дж. Томсън.
Изложението по-долу е съвременно и вероятно не е същото, каквото е било направено от Лармор.
Използувани са предни статии Вектор на Пойнтинг, Плоска вълна, Електромагнитни вълни.

Разсъжденията по-долу са при ясни посоки на векторите, затова ще използуваме означения само за дължините им.
Полето, създавано от електричен заряд според Закона на Кулон е
. [1]

Силовите линии
при неподвижен заряд са радиално-симетрични прави. Ако заряда-източник се движи с постоянна скорост, полето изглежда по същия начин - тези два случая са неразличими - такова поле е изобразено в лявата страна на Фиг.1. Но ако заряда се движи с ускорение , линиите вече не са прави, а по тях пробягва деформация - вълнов процес, който се разпространява със скоростта на светлината - виж дясната рисунка от Фиг.1 - предполага се, че скоростта e отдясно наляво, a ускорението - обратно.
Вълновите процеси пренасят енергия и в този случай източника на енергията е самият заряд, който се движи с променлива скорост. От по-рано имаме оценка за потока енергия, пренасяна от електромагнитните вълни - виж равенство [1] от статията "Вектор на Пойнтинг".
. [2]
Освен това, от равенство [14] от статията "Плоска вълна" знаем какво е съотношението между електричния и магнитния вектор.
. [3]
Ако погледнем връзката между скоростта на светлината c и двете константи мю и епсилон -
магнитната и диелектричната проницаемост - изразена във формула [11] от статията Електромагнитни вълни, можем да заместим [3] в [2] и да получим следния кратък израз за вектора на Пойнтинг:
. [4]
Сега да се съсредоточим върху изкривяването на силовата линия - жълтото петно на Фиг.1, което е изобразено в

Едър план
на Фиг.2. Силовия вектор E може да се представи като сбор от надлъжна и напречна съставка.
Нека зарядът се движи равнозакъснително, намалявайки скоростта си от v до нула за време . Отрицателното ускорение ще предизвика вълнов импулс, който достига разстояние след време t.
Ще разгледаме поотделно двете съставки. Вълната се разпространява с постоянна скорост. Надлъжната (радиалната) съставка е:
. [5]
/ Вълничката "~" в [5] и по-долу замества фразата "е пропорционално на"./
Напречната съставка ще оценим геометрично от Фиг.2.
Извън черупката на вълновия импулс, силовата линия "не знае", че е настъпила промяна. Тя е там, където щеще да е, ако частицата продължава да се движи равномерно праволинейно със скорост v, тоест на разстояние vt.
. [6]
От горните две пропорции следва, че
, или . [7]
Електромагнитните вълни са напречни. Надлъжната съставка е статичното Кулоново поле от [1].
След заместване на Er от [1] в [7], получаваме
. [8]
Да заместим в горната формула изразите за радиуса на вълновата сфера и ускорението . [9] :
. [10]
или по-кратко напречната (тангенциалната) съставка на полето е
. [11]
Да заместим този резултат в израза за

Поток на енергията
чрез вектора на Пойнтинг от по-горе в равенство [4].
Ще получим израз за излъчваната енергия по ъгъл алфа спрямо посоката на ускорението и разстояние r:
. [12]
В тази формула [12] има симетрия спрямо екваториалната плоскост. Излъчваната енергия е една и съща в двете посоки - напред и назад.
Освен това, тази формула очевидно има осева симетрия по направление на ускорението. За да получим

Интеграл
на потока през цялата сфера, можем да разчитаме на тази симетрия. Фиг. 3 показва един пръстен (жълт цвят) - част от повърхността на сфера около нашия заряд. По този пръстен векторът от [12] има постоянна големина. Размерите на пръстена са лесни за съобразяване. Повърхността му е
. [13]
А търсеното излъчване, като енергия за единица време, представлява интеграла
. [14]
Да заместим [12] и [13] в [14]:
. [15]
Малко опростяваме:
. [16]

По всичко изглежда, че трябва да решим интеграла:
. [17] - това не е трудно,
, [18] и накрая
. [19]
Заместваме този резултат в [16] и получаваме

Формулата на Лармор
която показва колко енергия излъчва за единица време заряд q, движещ се с ускорение:
. [20]





коментари

Радостин Желязков 20.06.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика