Вектор на Пойнтинг


Това е част от класическата електромагнитната теория.
Трябва да сте запознати с:
Набла операции, Уравненията на Максуел, Електромагнитни вълни, Плоска вълна, Кондензатор, Соленоид, Уравнение на Поасон.

Поток на енергията
Електромагнитните вълни пренасят енергия. Потока на електромагнитната енергия е вектор, чиято посока съвпада с посоката на разпространение на вълната а големината му съответствува на плътност на потока енергия. Дефиницията за този вектор е
.[1]
Той има размерност ват/квадратен метър - W/m² и се нарича Вектор на Пойнтинг, или още Вектор на Умов.
По-долу ще покажем как именно дефинирания в [1] вектор представлява енергия.
Да оценим енергийния поток по геометричен начин. Да си представим затворена повърхност S, и да означим с V обема вътре в нея.
Лесно е да съобразим ,че колкото е потока на енергията през повърхността S навън, с толкова ще намалее количеството обща енергия U вътре в обема V :
.[1.1]
Съгласно теоремата за дивергенцията (виж статията Поасон, потока на енергия спазва равенството
.[2]
Да заместим [1] в дясната част на [2]:
.[3]
Да погледнем "Тъждество 2" от статията "Набла операции". Подинтегралната функция в дясно на [3] е
.[4]
Но в дясно на [4] двата изрази в скобите са известни от трето и четвърто уравнение на Максуел, така, че
.[5]
Заместваме [5] в дясно на [3], после лявата страна на [3] с равната й от [2] и съответно [1.1]:
.[5]
Да пресметнем специално първия член отдясно на [5], тоест съставката
.[6]
Както и втория член отдясно на [5], тоест съставката
.[7]

Електрична и магнитна плътност
Да въведем означение
.[8]
Ако погледнем равенство [7] от статията "Кондензатор", ще видим че това е плътност на електричната енергия.
Електричната енергия на полето ще бъде интеграл на [8] по обема:
.[8.1]
Да означим също и
.[9]
Ако погледнем равенство [16] от статията "Соленоид", ще видим че това е плътност на магнитната енергия.
Магнитната енергия на полето ще бъде интеграл на [9] по обема:
.[9.1]
Заместването на [8] и [9] в [6] и [7], после в [5] води до еквивалентно на [5] равенство:
.[10]
Което казва, че във вакуум (където няма ток на проводимост и последния член в дясно на [10] ще е нула), сбора на електричната и магнитната се равнява на пълната енергия на полето. Това е съгласие с твърдението, че векторът от [1] действително е поток на енергия.

Теорема на Пойнтинг
Да означим с u сбора u = u_e + u_m - обща плътност на енергията в полето. От написаното по-горе разбира се следва и равенството
.[11]
наречено още Теорема на Пойнтинг. Доказателството е почти видимо от горе - направете го сами.


коментари

Радостин Желязков 05.04.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика