Капацитет


Това е част от класическата електромагнитната теория.
Трябва да сте запознати с: Набла операции, Уравненията на Максуел, Уравнение на Поасон.
Кондензаторът по-долу е "идеален" - модел, чийто цел е да "затвори" полето в удобен за тълкуване геометричен примитив. Технологичните кондензатори обикновено се отклоняват от него.

Кондензатор
Това са две успоредни проводящи плочи във вакуум, на малко разстояние една от друга и с голяма повърхност (фиг.1).
Ще смятаме, че цялото поле е съсредоточено в пространството между тях.
Да пренесем единица заряд от едната плоча до другата срещу силите на електричното поле. При преодоляването на полето ще извършим работа W=qU. (където W е работата, q е заряда, U е напрежението между плочите). Ако пренесем втори заряд, насрещната сила ще е по-голяма, защото току-що пренесения заряд се прибавя към източника на полето
и напрежението расте пропорционално на натрупания заряд (фиг.2). Всеки следващ ще се движи все по-трудно - ще изисква повече работа от предния. Интегралът на извършената работа (жълтия триъгълник на фиг.2) ще е
.[1]
където W е извършената работа, Q е общото количество заряд, U е крайното напрежение.

Капацитет
Капацитетът се дефинира като количество заряд, което повишава напрежението с един волт Q/U.
Кондензаторът има две плочи. Да си представим, че едната от тях е обвита от затворена повърхност S - виж фиг.3.
Да напишем теоремата за дивергенцията (виж равенство [2] от Уравнение на Поасон) на електрично поле
(в следващите три равенства площта е означена с S) :
[c1]
В лявата страна на [c1], подинтегралната функция съвпада с лявата страна на първото уравнение на Максуел, така, че
[c2]
Интеграла в лявата страна на [c2] е всъщност електричния заряд. Ако този заряд е разположен по повърхността на разглежданата област, може да се представи като повърхностна плътност умножена по площта:
,[c3]
където с малка гръцка буква сигма е означена повърхностната плътност на заряда.
От [c3] пряко се вижда, че
.[c4]
С което вече можем да пресметнем отношението, както е казано в дефиницията за капацитет - при площ A за едната плоча и междина d:
[c5].
Горното се отнася за "обвитата" плоча от кондензатора. В всяка от двете плочи държи половината заряд (и според [c5] - половината капацитет) на кондензатора. Можем да "махнем" обвивката на плочата - [c5] ще е капацитет на целия кондензатор.
Напрежението U и зарядът Q в кондензатора винаги спазват равенството

Q = CU , [2]
където C е капацитета. Така, че . [3]
Капацитетът на кондензатора се представя с формула (виж по-горе [c5])
, [4]
където епсилон е диелектричната проницаемост на вакуума, A е площта на кондензаторните плочи, а d е разстоянието между тях - виж фиг.1. Напрежението U съответствува на електрично поле E по формулата U = Ed . [5]
За работата от [3] [4] и [5] се получава , и по-точно
, [6]
където с V = Ad е означен обема между двете плочи, в който е съсредоточено полето.
Разбира се, тази работа е равна на натрупаната

Енергия на електричното поле,
за което по-горе казахме, че е изцяло съсредоточено между двете повърхности на кондензатора.
В изразът [6] обемът на това пространство е множител, така, че ако го премахнем, получаваме енергия в единица обем, тоест

Плътност на енергията на електричното поле
Както виждаме от [6], плътността на енергията е :
. [7]



коментари

Радостин Желязков 02.04.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика