Кривини


Този текст подпомага разбирането на Общата Теория на Относителността (ОТО).
Трябва да сте гледали Матрицата I, Матрицата II и Матрицата III.
Също и Ковариантна производна на вектор, Символи на Кристофел, Теорема на Ричи, Успоредно пренасяне.


В статията "Успоредно пренасяне" получихме оценка за кривината изразена чрез Тензора на Риман:
[1].
Сега ще покажем, че той е

Симетричен спрямо първа и втора двойка индекси.
Да разгледаме плоско допирателно пространство - метричният тензор е един и същ навсякъде. Г-символите са нулеви, но не и производните им. Тогава в тензора на кривината [1] ще останат само първите две съставки.
[101].
За по-удобно представяне, нека "свалим" първия индекс на R:
[102] , или като нов запис на [101]:
. [103]
Всеки от Гама-символите вдясно на [103] може да се изрази чрез метричния тензор, както беше показано в [13] от статията "Символи на Кристофел".
Ако направим такова заместване и ако вземем предвид, че за плоско пространство ,
двата члена в скобите от дясната страна на [103] ще бъдат
[104] и
. [105] ,
Средните събираеми в [104] и [105] ще имат нулев ефект - понеже производните комутират, след което - като еквивалент на [103] можем да запишем:
, или още по-кратко:
. [106]
Като имаме предвид, че реда в производните може да се размества и че метричния тензор е симетричен, от последното равенство се разбира, че можем да разменим индексните двойки pq и ab, без това да промени резултата.
В началото предположихме, че разглежданото пространство е плоско. Но [106] е тензорно равенство, следователно важи за всяка координатна система.
Следващата стъпка е да покажем едно важно равенство, наричано в книгите

Тъждество на Бианки
. [107]
Събираемите са ковариантни производни на Римановия Тензор и (погледнете [106])
в плоско допирателно пространство (тоест с нулеви Г-символи) биха изглеждали така:
. [108]
. [109]
. [110]
Горната тройка равенства наистина има нулев сбор - реда на диференциране е свободен, а метричният тензор е симетричен. Отново ще се позовем на факта, че тензорното равенство [107], показано в една координатна система е в сила за всяка друга.
Да си спомним и подредим симетриите на тензора на Риман - от предната статия и тази по двойки индекси от [106]:
R_pqab = -R_pqba
R_pqab = -R_qpab
R_pqab = R_abpq.

Сумата от елементите по главния диагонал на една матрица се нарича Следа (англ. trace, понякога spur - шпур). Ако елементите на матрицата са тензори, следата е също тензор, с две размерности по-малко от размерноста на началния. Следата на тензора от [1], получена като контракция на индексите p a се нарича

Тензор на Ричи
[2].
Макар да се означават с една и съща буква, тензорите от [1] и [2] се различават по тип (броя на индексите).
Ако приемем, че тензорът на Риман от [1] съдържа всички сведения за кривината, Тензорът на Ричи също носи данни за кривината, но има по-малък брой елементи от [1]. Бидейки двумерна структура, тензорът на Ричи има своя следа - вече число. Но ние не можем да правим направо контракция само по долните индекси q b, затова по-добре да дефинираме смесен тензор - да вдигнем единия индекс чрез умножение по метричния тензор g:
[3] , където вляво все още стои Тензорът на Ричи, но вече удобен за трасиране. Числото
[4]
се нарича още

Скалар на Ричи
Това е числова оценка за кривината на пространството. Скаларът на Ричи е нулев за плоско пространство, всъщност - погледнато отвътре - и за всяко друго, което се получава чрез обикновено (неразтегнато) огъване - например цилиндрична или конична повърхност.
В случай на равномерно движение по крива, кривината е вектор, съвпадащ с ускорението.
Да опитаме следата на тензора от лявата страна на [107]. Първо по индексите a c. Това значи да умножим с метричен тензор g^ac. Да запишем трите събираеми:
. [401]
. [402]
, [403]
където във втората линия [402] нарочно разменихме първите два индекса, за да направим контракция водеща до Тензора на Ричи.
Сега ще повторим още веднъж горната операция, но с индексите b q - умножаваме с g^bq - пак поотделно от горните три [401] [402] [403]:
. [411]
. [412]
. [413]
Да си спомним, че съгласно Бианки (по-горе), тези трите имат нулев сбор:
[414] , или с по-кратък запис
[415] .

Тензорът на Айнщайн
се определя като
[5]
и сякаш нарочно е пригоден - като следствие от [415] - да спазва равенството
.




коментари

Радостин Желязков 12.02.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика