Вълнови решения

Тази статия е за справка. Описано е едно решение на вълновото уравнение.
Тук са ползувани сведения от страници на Станчо Павлов:
Диференциални уравнения с разделящи се променливи, Формули на Ойлер.
Има отношение към няколко други статии по физика, например:
Трептящ кръг, Електромагнитни вълни, Плоска вълна. Материални вълни.


Уравнение на Лаплас
Нека f е функция на две променливи x и t. Уравнението
. [1]
често е наричано Уравнението на Лаплас. Ще потърсим каква е функцията f, за която [1] е вярно.
Експоненциалната функция f=e^x има удобни, равни на себе си производни. Да предположим, че търсената f е експонента:
. [2]
Първата и втората производна спрямо x са : първа , втора: . [3]
Първата и втората производна спрямо t са: първа , втора: . [4]
Сбора на горните две [3] и [4] в ляво ще даде [1], но от дясно остава изискването
, [4.1]
което при експоненциални функции няма как да е вярно. Явно сбъркахме в предположението [2].
Да опитаме друго:
. [5]
Първата и втората производна спрямо x са : първа , втора: . [6]
Първата и втората производна спрямо t са : първа , втора: . [7]
Отново, сбора на [6] и [7] в ляво ще даде [1], а от дясно остава
. [8]
Ама че работа. Излиза, че сбора от квадратите на двата коефициента a и b трябва да е нулев.
Само имагинерните числа имат отрицателен квадрат. Едното от двете - a или b - трябва да е чисто имагинерно.
Стигаме до изискването , където i е имагинерната единица.
Следователно, ако (най-просто) a=1, то функцията
[9]
е решение на [1]. Разбира се, x и t са симетрични аргументи и имагинерния множител може да е пред x, тоест f=e^(ix+t) е също решение.
Сега да опитаме да решим едно уравнение, близко до Лапласовото [1] :
. [10]
Ако повторим горните опити, тоест пак предполагаме [2], пътя на равенствата [3] и [4] ще ни доведат до успех, тъй като вместо фаталния сбор от [4.1] 2f = 0 , ще се появи разликата, която е тъждество f - f = 0.
Тоест [2] е пряко решение на [10]. Но да продължим по същия път. Чрез [6] и [7], можем да видим, че [5] е решение на [10] при a=b.
Но двата множителя a b може да са едновременно имагинерни и това ще запази решението, значи функцията
[11]
е също решение на [10].
Сега да се обърнем към известното

Вълново уравнение
То много прилича на [10]:
, [12]
където c е някаква константа.
Да опитаме с хипотезата от [5]. Равенства [6] и [7] ще останат валидни. Да умножим [7] с 1/c²:
. [13]
И да вземем разликата [6] минус [13]. Получаваме
. [14]
Виждаме, че условието, за да е вярно [12] е
. [15]
Това условие може да бъде спазено от чисто реални и от чисто имагинерни a b.
Изобщо двете версии - по-горната [5], както и следното, наричано някъде

Стандартно решение
, [16]
са решения на вълновото уравнение.
Обаче стандартното решение [16] има периодичен характер - погледнете статията на Станчо Павлов Формули на Ойлер
и е избирано в общия случай, когато се очаква вълново явление.
Ойлеровият запис за експоненциалната функция от [16] е
. [17]
Имайки предвид Ойлеровото представяне на тригонометричните функции :
и още , [18]
разбираме, че двете тригонометрични функции, в дясно на [17] :
, [19]
, [20]
представляват линейни комбинации от стандартни решения и следователно са вълнови решения.




Радостин Желязков 01.10.2011 .. /последна корекция 10.10.2011/
________________________________________________________________________________________

коментари

учебни статии по физика