Производна на Ли


Този текст подпомага разбирането на Общата Теория на Относителността (ОТО).
Предните (по време) статии са:
Матрицата I, Матрицата II, Матрицата III, Ковариантна производна на вектор, Символи на Кристофел, Теорема на Ричи, Успоредно пренасяне, Кривини.

Тази статия има за цел да покаже как комутаторът ab-ba измерва кривината.
Съпоставят се реално пренесен по кривата тензор (наречен по-долу примов) и плоска екстраполация на същия тензор, получена като развивка в ред на Тейлор.

Да си представим линия с координати [1]
- където t е числов параметър - дължина; Да си представим също и векторно поле V(x) - такова, че във всяка точка векторът V е допирателен към линията, имайки координати
. [2]
Нека има някакъв тензор T = T(V), който се променя при движение по същата линия.
Да разгледаме пренос върху малък участък от кривата - V ще се преобразува до V ',
а T ще се преобразува до T '.
Производната на Ли за тензор T спрямо векторното поле V се дефинира като
. [3] *
Това би било нула при движение по права - следователно отразява изкривяването, видимо от фигурата.
Ще потърсим поотделно изрази за двете съставки на числителя от дясно на [3]. Започваме с T '.
Съгласно [2], можем да напишем примовите координати като
[4] ,
което иначе си е координатно преобразувание от вида , с матрица
[5] .
Съпоставката на последните две равенства [4] и [5] води до следния израз за ламбда-матрицата:
[6] ,
където първото събираемо в дясно е делта-символа на Кронекер, тоест единичната матрица,
а второто - производната на вектора V според означение .
Да приемем за простота, че разглежданият тензор е обикновен вектор - един горен индекс. В такъв случай - погледнете [6] - той ще се преобразува така:
[7] .
Дотук с втория член от числителя на [3]. Сега ще търсим израз за първия.
Началният тензор T може да се представи в примовата точка като сбор близък до [7], чрез ред на Тейлор - разглеждайки примовата точка като близка до началната:
, където последният член в скобите - o - е сбор от бързо клонящи към нула малки събираеми, съдържащи степени 2 и повече. Изполувайки [2], получаваме
.
Според развивката на Тейлор:
. [8]

Замествайки [7] и [8] в дефиницията [3], виждаме, че
Производната на Ли за тензор T върху векторно поле V се изразява с формулата:

. [9] *

Дясната страна на [9] понякога се нарича комутатор на Ли.

* Забележка:
Тук има особено означение - в левите страни на [3] и [9] индекса v не е координатен, а означава посока по вектора V.


коментари

Радостин Желязков 26.02.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика