Геодезично отклонение


Този текст подпомага разбирането на Общата Теория на Относителността (ОТО).
Предните (по време) статии са:
Матрицата I, Матрицата II, Матрицата III, Ковариантна производна на вектор, Символи на Кристофел, Теорема на Ричи, Успоредно пренасяне, Кривини.
Производна на Ли.
Отклонение е пряк превод на английската дума deviation. На английски терминът е "geodesic deviation".

Както видяхме в "Успоредно пренасяне", геодезичните линии са линии по които
тангентния вектор (означен на фиг.1 с буква T) се пренася успоредно.
Нека изберем координатен репер, за който единият базисен вектор е в посока T, а другият да сочи към някоя от съседните геодезични линии (посока по вектора N). Нека с малки букви t и s означим два линейни параметъра - единият тангентен - по геодезичната линия, а другият - напречен - по линия, определена от N, тоест съединяваща две съседни геодезични. Да пресметнем вече известния от предната статия

Комутатор на Ли
за двата вектора T N (за пръв път ползвам квадратни скоби като знак за комутация) :
[1]
Подробния запис за двете десни съставки е
[2.1]
[2.2]
тоест те са равни и комутаторът е нулев. Сега ще покажем, че ако дори
заменим обикновените производни от [1] с ковариантни, разликата пак е нула, тоест
. [3]
Да заместим набла-означенията в двата члена от лявата страна на [3]:
[4]
. [5]
Първите събираеми в [4] и [5] имат нулева разлика според показания нулев комутатор [1].
За вторите две се вижда лесно, че са равни, тъй като Гама-символите имат симетрия по долните два индекса:
, [6]
откъдето става ясно, че
. [7]
Това показва вярността на [3]. Казано с думи,
ковариантната производна на един вектор по направление от втори е равносилна на
ковариантната производна на втория вектор по направлението на първия.
Лявата страна на [7] е всъщност производна по направление, следователно е вид

Скорост на геодезичните.
Да я означим:
. [8]
Производната на тази скорост (пак по същото направление) ще да е

Ускорение.
. [9]
Да заместим [8] в [9]:
[10]
и да заменим съдържанието на скобите според [7]:
. [11]
В скобите има произведение - прилагаме правилото на Лайбниц:
. [12]
Виждайки във вторто събираемо две съседни набли, да си спомним за комутатора - еквивалент на Тензора на Риман (виж [9] от статията Успоредно пренасяне):
,тоест . [13]
Да заместим това в [12]. Получаваме:
, или за по-удобно без вторите скоби:
. [14]
Сега е моментът да се сетим, че средното събираемо в [14] е член от една друга производна - пак по Лайбниц - записна в подходящ вид като
. [15]
Заместваме [15] в [14]:
. [16]
Първият и третият член очевидно ще отпаднат от израза. Вторият съдържа като множител ковариантна производна на тангентен вектор по геодезична, следователно е нулев (виж [2], [3] и [4] от статията Успоредно пренасяне). Така получихме известното

Уравнение на геодезичното отклонение.
или може би другаде написано "уравнение на геодезичната девиация".
, [17]
В него се вижда, че ускорението е пропорционално на кривината - което и интуитивно се предполагаше.
При реално 4-мерно време-пространство, това ускорение възниква, както виждаме, от чисто геометрични съображения за всеки 4-вектор, който се отклонява от геодезичния път.


коментари

Радостин Желязков 01.03.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика