Закон на Планк

Това е статия номер едно от квантовата физика.
Изведена е формулата, с която Планк описва излъчването на абсолютно черно тяло.
Планк публикува тази си работа около 1900 г. Не са ми известни подробностите от публикацията на Планк - в този извод, ходът на разсъжденията вероятно се отклонява от оригинала.
Тук са използувани знания от статиите
Идеален газ, Теорема на Лиувил, Разпределение на Максуел-Болцман, Уравнение на Хамилтон, Стълба на Габриел.
Трябва също да имате представа за Електромагнитни вълни и хармоничния осцилатор от статията Трептящ кръг.

История
По времето, когато Планк е работил над тази формула, светлината и топлинното излъчване са били смятани за чисто вълново явление, представено от теорията на Максуел и опитите, които я потвърждават. Думата "фотон" възниква години по-късно (1926-1927, Г.Люис и А. Комптън). Преди Планк да публиква своя резултат, е имало две практични описателни формули, за които се е знаело, че покриват само отделни части от спектъра.
Планк е търсил теоретично обяснение за спектъра на топлинното излъчване, разглеждайки така нареченото

Абсолютно черно тяло
Това е кухина, в която интересното съдържание са единствено електромагнитните вълни. Всяка точка от повърхността излъчва и поглъща такива вълни (фиг.1). В резултат от многократните отражения, целият обем е запълнен с вълнови фронтове, с различна честота и посока. Предполага се топлинно равновесие, тоест излъчваната и поглъщаната енергия са еднакви. Равновесието предполага също, че вълните в тялото са стоящи. Формата на кухината няма значение.
Тук ще приемем - както изследователите от времето на Планк - че електромагнитните трептения в кухината се моделират чрез трептящи елементи, наричани осцилатори. Осцилаторите изразяват представата, че вълновия процес е предаване на движение от едно към друго съседно място. Всяка област от обема на тялото с размери колкото една дължина на вълната, сама по себе си е осцилатор. Това е било в съгласие с хипотезата на Максуел за ефира - материална среда, в която се пренасят електромагнитните вълни. Максуел е вярвал, че ефирът е съставен от микроелементи със специални свойства, които допускат осцилации. По-долу се говори за плътност и статистическо разпределение именно на осцилатори. Но дали съществуват такива обекти, или не - това не е критично за извода. Ако Ви е по-удобно, вместо за осцилатор, мислете за режим на електромагнитно колебание, какъвто без съмнение има при всяка електромагнитна вълна.

Честотно пространство
Да означим с малка гръцка буква ламбда дължината на една стояща вълна. Да разгледаме за удобство куб с разстояние L между две срещуположни стени (фиг.2). Можем да смятаме, че това разстояние е по x-направление. По отсечката L се нанасят цял брой полувълни:
. [1]
и всяка от тях съответствува на честота, с която трепти един осцилатор. Числото N_x заема цели стойности 1,2,3, ...
От горното равенство [1], ламбда може да се изрази като
. [2]
Нека c е скоростта на светлината, а f - честотата. Тогава [3] , тоест
. [4]
Десните страни на [2] и [4] трябва да са равни: [5], откъдето следва, че
. [6]
Линейната връзка [6] между цялото число Nx и честотата, показва известното правило, че честотите на стоящите вълни (както в струна) се отнасят като цели числа 1,2,3, ... Да построим линейно честотно пространство, съставено от три направления - fx, fy, fz - виж фиг.3. Тъй като Nx е число, коефициентът c/2L от [6] има размерност на честота и може да се третира като честотен интервал с големина единица. От [6] се вижда, че за всяко следващо N_x трябва да прибавим c/2L към предната честота. В такъв случай, кубче от честотното пространство със страна c/2L съответствува на честотен обем V_1f, в който се съдържа една реална честота:
. [7]

Разпределение
В честотното пространство, честотите с големина между f и f+df образуват сферична черупка с радиус f и дебелина df - виж фиг.4. Вземаме предвид една осма от пълната сфера, защото честотите и по трите направления са само положителни. Да означим с dV₀ обема на черупката от фиг.4, съответствуващ на брой честоти между f и f+df. Този обем е :
. [8]
Но за една и съща честота са възможни две взаимно перпендикулярни поляризации, така, че броя на режимите за осцилация са двойно повече от посоченото в [8]. Затова броя на реалните осцилатори в черупката - означен по-долу с dN - ще бъде равен удвоения брой от [8], разделен на честотния обем за една честота V_1f - пресметнат по-горе в [7].
. [9]
Да заместим третата степен на линейния размер с обема V на тялото: L³=V.
Ако с N(f) означим вероятностното разпределение на осцилаторите по честота, то броя осцилатори с честоти между f и f+df ще е
, [10]
а отношението [10] към обема на кухината V е обемна плътност на разпределението - означение g ( f ) :
. [11]

Енергия
Разпределението g от [11] е режими на осцилация по честоти. Но да не забравяме, че главната цел е спектъра на топлинно излъчване за абсолютно черното тяло. Нещо, което знаем за топлинната енергия на микрочастици е равенство [11] от статията Идеален газ. В него едноатомния газ има (3/2)k_BT средна кинетична енергия. Множителя 3/2 идва от трите степени на свобода на движение. Но съгласно Теоремата на Лиувил, вероятностите са разпределени равномерно по всяка ос на фазовото пространство. От друга страна, в статията Уравнение на Хамилтон има илюстрация, как хармоничния осцилатор се изобразява като фазова окръжност - тоест осцилатора има две фазови измерения. Един режим на осцилация от тези, които разпределяхме по-горе в [11], е еквивалент на хармоничен осцилатор и следователно има две степени на свобода - за всяка от които се полага (1/2)k_BT. С други думи, бихме могли да предположим, че всеки един осцилатор има енергия k_BT - това в действителност се е случило. Разпределителната функция
[12]
е известна в историята като формула на Рейли-Джийнс за спектъра на абсолютно черно тяло. Тя е била полузвана за кратко време, но опитът е показал, че тази формула е приблизително вярна, само за ограничена област от спектъра.

Уточнение
Може би Планк е разсъждавал така: Всеки, ама всеки осцилатор да има една и съща енергия k_BT е плоско допускане.
Но знаем, че той се е досетил - тези енергии, вместо да са еднакви, както е в [12],
трябва да бъдат случайно разпределени - подобно на Разпределението на Максуел-Болцман.
Заедно с това той е предположил, че енергията се формира от малки еднакви количества, право пропорционални на честотата f.
Това позволява множителя k_BT в [12] да бъде заменен с нормирана функция на разпределение за енергията на един осцилатор.
Да означим с енергията на осцилатор с индекс N. В такъв случай разпределената средна енергия на един осцилатор би изглеждала така:
. [13]
Съгласно предположението на Планк, индексираните стойности на енергиите се отнасят като цели числа 0,1,2,3, ... ,
тоест ако е първото от тях, N-тото ще е
. [14]
Събираемото с индекс 0 от сбора на знаменателя на [13] е експонента с нулев показател и е равно на 1.
Да означим с буквата q събираемото с индекс 1 от същия сбор:
, после и изобщо . [15]
По този начин знаменателят на [13] се свежда до сбора S=1+q+q²+q³+... , известен под името Геометрична прогресия.
Числителят на [13] е също известен сбор G=0+q+2q²+3q³+... , наречен с името Стълба на Габриел.
След като знаeм какви са горните два сбора, да ги заместим в [13]:
. [16]
Да заместим обратно q от [15]. Тогава средната разпределена енергия за една осцилация от [13] става:
. [17]

Кванти
В горното равенство остана условно означената енергия , от която следват останалите събираеми в сборовете на [13].
Съгласно уточнението, описано в предната точка, Планк е обявил равенството
. [18]
наречено Равенство на Планк - Айнщайн.
В него с буква f е означена честотата. С буква h е означена Константата на Планк - възникваща като пропорция.
Тази константа - h - има размерност [енергия] x [време] = Джаул по Секунда. Физическият й смисъл е действие.
Енергията в лявата страна на [18] е най-малкото събираемо от сборовете на числителя и знаменателя във формулата [13].
Тази енергия - - съгласно допускането на Планк е най-малката възможна порция електромагнитна енергия - сега я наричаме квант - излъчвана от тялото.
Да забележим, че квантът енергия е фиксиран само при конкретна честота.
Планк е използувал думата "пакет". Малко по-късно Айнщайн го е нарекъл "светлинен квант".

Спектър
Да заместим [18] в [17] и после с полученото да заместим k_BT в [12]:
. [19]
Това е Закона на Планк за спектъра на електромагнитното излъчване от абсолютно черно тяло.
В тази формула f е честотата на електромагнитните вълни, а T е абсолютната температура,
функцията u ( f ) е спектрална плътност, отнесена към единица обем.
h е константата на Планк, k_B е константата на Болцман, c е скоростта на светлината.
На фиг.5 са показани няколко криви на функцията u ( f ) - съответни на нарастващи температури.


коментари

Радостин Желязков 25.05.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика