Материя


Този текст подпомага разбирането на Общата Теория на Относителността (ОТО).
Предните (по време) статии са:
Матрицата I, Матрицата II, Матрицата III, Ковариантна производна на вектор, Символи на Кристофел, Теорема на Ричи, Успоредно пренасяне, Кривини,
Производна на Ли, Геодезично отклонение.


Плосък случай
Да разгледаме път - жълта линия в диаграмата на Минковски - фиг.1 - непрекъсната поредица събития. В статията "Матрицата II" интервалът на Минковски беше определен като
.[1]
Пак там видяхме, че знакът на интервала може да варира по определение като отрицателен или положителен.
Затова в [1] означението "на втора степен" в лявата страна е чисто дефинитивно и не бива да се приема като знак за действие.
Но след като сме избрали сигнатура (-1,1,1,1), знакът на [1] ще е отрицателен и затова нека определим за реалните събития (цветният триъгълник на фиг.1) безконфликтна версия:
.[2]
Означеното с малка гръцка буква тау в ляво се нарича

Собствено Време
То съвпада с измереното локално време, съответно на интервала.
Допирателният вектор към този път .[3]
се нарича 4-скорост. Съпоставката на [3] и [2] показва, че
.[4]
Тоест този вектор винаги е с една и съща "дължина" и тя е точно равна на минус единица.
За същото ставаше дума и в статията "Матрицата II", когато споменахме, че всички фиксирани точки в пространство-времето се движат със скоростта на светлината, така, че "единицата" по-горе съответвува на скорост на светлината c=1.
Да допуснем, че по пътя се движи тяло с маса m (в покой - нарича се още Собствена Маса).
По определение, четиривекторът с компоненти
[5], се нарича

Четиривектор на Импулса
За неподвижно тяло само първата му компонента е ненулева и е равна на mc. Да допуснем, че тялото се движи по оста x със скорост v. Тогава компонентите са други - съгласно Лоренцовите преобразувания, те ще се променят до
, където с малка гръцка буква гама е означен множителя на Лоренц: .
Сега ще дефинираме "друг" вектор
. [6]
и ще го наречем

Четири-Енергия.
Да забележим, че след като множителят c=1, този вектор, като числен състав е неразличим от четири-импулса.
Що се отнася до разликата в мерките - и такава няма - защото трябва да се съгласим, че самата скорост на светлината е безразмерна единица, след като сме в Пространство-Времето на Минковски.
Постоянната дължина на 4-скоростта, записана в [4], определя постоянство и за 4-импулса, което гарантира закона за запазване на импулса, а по смисъла на [6] - и на 4-енергията. Но да не забравяме, че разглеждаме плосък случай, тоест допирателно пространство.
Компонентата с индекс нула от четири-енергията за тяло в покой изразява известната формула:

. [7]

Внимание! Това е недостиг на означения. В лявата страна на [7] имаме горен тензорен индекс 0, а в дясната двойката е знак за втора степен.
И в следващите няколко формули, малките горни двойки означават степенуване.
Да обърнем внимание какво се случва със [7] при ненулева скорост. Тогава гама-множителят е съществен:
. [8]
Следователно за материална точка при движение със скорост, v енергията като число е:
, [8.1]
където с наклонена буква m е означена масата за движение със скорост v:
. [8.2]
Второто равенство от [8.1], умножено по знаменателя и повдигнато на квадрат води до
. [8.3]
Да означим с P=mv импулса. Виждаме, че последният член от [8.3] е
. [8.4]
Заедно трите [8.1], [8.3], [8.4] показват, че

. [8.5]

Последното равенство [8.5] е важно и се ползува на други места.
В него, отляво E_v е енергията на тялото; в дясно m е масата в покой, а P е импулса.
То изразява връзката между енергия и импулс за материална точка в Теорията на Относителността.

[Отклонение 1]
Функцията при малки стойности на аргумента се представя в ред на Тейлор като:
. [9]
Пак за малки стойности на аргумента, първата производна е . [10]
или, за аргументи близки до нула важи приближението . [11]
Ако съпоставим това с Лоренцовия фактор от по-горе при аргумент a = v²/c² и заместим в [8], ще получим и
[Край на Отклонение 1]

Съпоставка с Нютон
. [12]
Фразата "тяло с маса m" означава материална точка. За материя, разсеяна в пространството, се работи с по-висока по сложност абстракция, наричана

Тензор на Енергията
или понякога наричан Тензор на Енергия-Импулс, също и Тензор на Енергия-Напрежение.
(От англ. "energy-momentum tensor", "stress-energy tensor". Думата "налягане", изполуваната по-долу, съответствува на нормална съставка на напрежението.)
Тензорът на Енергията се означава с T^jk и по дефиниция е поток на p^j - компонентата от четири-импулса през 3-мерна хиперповърхност определена от фиксирана координата x^k.
Ако с S_k означим нормален 4-вектор към една такава хиперповърхност, то тази дефиниция е еквивалент на равенството
T^jkS_k = p^j. [13]
Да допуснем, че всички материални частици са в покой.
Нулевия компонент S₀ е пространствения обем, а T⁰¹,T⁰²,T⁰³ са нули, защото при покой векторът на импулса е изцяло насочен по временната ос и не може да образува поток по пространствено направление. От [13] остава T⁰⁰S₀ = p⁰.
p⁰ според [7] е енергията-еквивалент на собствената им маса.
Така че компонентата T⁰⁰ е енергийна плътност, приравнена чрез [7] към обикновена масова плътност.
В Нютоновата механика, налягането се измерва с
нютон / квадратен метър. Тази единица се равнява на килограм / (метър по секунда на квадрат),
тоест [маса]/[дължина*време²].
При Минковски временните и пространствените мерки са едни и същи, затова горната единица се приравнява към
[маса]/[дължина³].
Това съвпада с единицата за плътност. Така, че плътност и налягане са с еднакви размерности и съвпадат по смисъл. Както видяхме по-горе в [7], масата и енергията също са с еднакъв смисъл, следователно мярката за налягане може да се запише и като
[енергия]/[дължина³].
От [5] и [6] е ясно, че компонентите на импулса имат размерност на енергия (или маса). Фразата "поток на импулс през 3-мерна хиперповърхност" може да се тълкува като масова плътност, но и като налягане - обобщено до напрежение, ако системата не е в покой. От там идва названието "тензор на енергия-напрежение". От там идва и симетрията на енергийния тензор.
Освен, че е симетричен, тензорът на енергията има нулева производна:
[14]
- което изразява законите за запазване на енергията (k=0) и импулса (k=1,2,3). Това равенство може да бъде прието и като дефиниция за тензора на енергията - тензор, съставен от компоненти с размерност енергия/обем и който се запазва.



коментари

Радостин Желязков 06.03.2011 / 17.09.2011
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика